談初中數(shù)學(xué)化歸思想的教學(xué)與運(yùn)用

徐漢平

摘 要：按照夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)、培養(yǎng)化歸意識(shí)、掌握化歸方法、鼓勵(lì)創(chuàng)新探索這四個(gè)程序，穩(wěn)扎穩(wěn)打，循序漸進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，以學(xué)生為本，在分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)技能與數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) 化歸思想 教學(xué)策略 綜合能力

化歸思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)思想，也是解決問(wèn)題的基本思想方法。化歸思想的基本思路是將未知轉(zhuǎn)化為已知，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將生疏問(wèn)題熟悉化，將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化、模型化，將數(shù)量問(wèn)題與圖形問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合。初中數(shù)學(xué)很多知識(shí)的學(xué)習(xí)與問(wèn)題的解決都會(huì)用到化歸思想，需要靈活運(yùn)用與解決。

一、夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)

扎實(shí)掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是強(qiáng)化化歸思想方法的前提，教學(xué)實(shí)踐說(shuō)明，只有掌握了扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，才能開拓學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用與實(shí)踐。應(yīng)該從以下幾個(gè)方面入手：一是重視概念、公式、法則等基本數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)，奠定化歸理論基礎(chǔ)。二是引導(dǎo)學(xué)生掌握整理、總結(jié)與歸納的良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，奠定化歸方法基礎(chǔ)。三是完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，奠定化歸途徑基礎(chǔ)。

例如，一元二次函數(shù)圖像與性質(zhì)是二次函數(shù)的重點(diǎn)知識(shí)，函數(shù)圖像具有對(duì)稱性、對(duì)稱軸、交點(diǎn)等相關(guān)元素，結(jié)合交點(diǎn)式畫出二次函數(shù)圖像，并拓展到與直線、其他曲線的相關(guān)計(jì)算。在學(xué)習(xí)二次函數(shù)相關(guān)問(wèn)題時(shí)，要扎實(shí)掌握二次函數(shù)的定義、計(jì)算公式、法則與表示方法，通過(guò)分析、歸納與綜合運(yùn)用，完善學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)。相似與全等存在著一定的共性，在學(xué)習(xí)全等三角形相關(guān)知識(shí)以后，通過(guò)類比分析、化歸總結(jié)，拓展到相似三角形知識(shí)、方法的學(xué)習(xí)，探索相似三角形的判定、性質(zhì)及其應(yīng)用。在逐步深化、建構(gòu)的過(guò)程中，完善學(xué)生初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與方法。

二、培養(yǎng)化歸意識(shí)，提升轉(zhuǎn)化能力

培養(yǎng)初中學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的意識(shí)是提升轉(zhuǎn)化能力的關(guān)鍵，培養(yǎng)化歸意識(shí)，應(yīng)該從平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生掌握相互依存、相互聯(lián)系、相互滲透的立體數(shù)學(xué)思維空間，在實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程中，適當(dāng)轉(zhuǎn)化，使得問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化、熟悉化。需要引導(dǎo)學(xué)生了解問(wèn)題轉(zhuǎn)化的一般原理，掌握基本的化歸思想與方法，并通過(guò)典型問(wèn)題進(jìn)行訓(xùn)練、鞏固。在觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題過(guò)程中，掌握數(shù)學(xué)化歸思想，構(gòu)建完善的化歸思路。一是在概念學(xué)習(xí)中滲透化歸思想，二是在解題訓(xùn)練中滲透化歸思想，三是在知識(shí)歸納中滲透化歸思想。

例如，在學(xué)習(xí)完一元一次方程以后，為了強(qiáng)化學(xué)生的化歸意識(shí)與能力，在知識(shí)總結(jié)與歸納中滲透化歸思想，構(gòu)建學(xué)生完善的知識(shí)體系與能力結(jié)構(gòu)。對(duì)于一元二次方程的求解，有下列幾種化歸思路：一是形如（x+m）2=n（n≥0），可以根據(jù)平方根的意義求解方程；二是通過(guò)配方等變形方法，將其轉(zhuǎn)化為一邊為完全平方式，一邊為非負(fù)常數(shù)，之后求解過(guò)程同思路一；三是結(jié)合十字相乘法，將一邊轉(zhuǎn)化為兩個(gè)因式的積，一邊為0，由乘法定義，兩個(gè)因式分別為0，得出原方程的解；四是結(jié)合一元二次方程的一般形式，借助求根公式求解問(wèn)題的答案。可以分析出，思路一是開平方法；思路二是配方法完成恒等變形，轉(zhuǎn)化為開平方法；思路三是因式分解法，思路四是公式法。在初中數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中，鼓勵(lì)學(xué)生總結(jié)歸納，培養(yǎng)化歸意識(shí)，理清思路，靈活運(yùn)用消元、配方、轉(zhuǎn)化等方法，將問(wèn)題進(jìn)行化歸，得出解決思路與方案。

三、掌握化歸方法，強(qiáng)化應(yīng)用實(shí)踐

數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下常用的化歸思想方法有恒等變換法，具體包括配方法、待定系數(shù)法、分解法、映射反演法、數(shù)形結(jié)合法、函數(shù)法、數(shù)學(xué)模型法等。化歸思想與方法運(yùn)用應(yīng)遵循的基本原則是：①熟悉化原則，將陌生問(wèn)題熟悉化，運(yùn)用學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)，通過(guò)轉(zhuǎn)化為已學(xué)知識(shí)、問(wèn)題與經(jīng)驗(yàn)，解決現(xiàn)存問(wèn)題；②簡(jiǎn)單化原則，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，通過(guò)化歸過(guò)程，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，解決簡(jiǎn)單問(wèn)題，達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的，獲得解題思路與依據(jù)；③和諧化原則，通過(guò)化歸問(wèn)題的條件與結(jié)論，使得表現(xiàn)形式符合數(shù)形內(nèi)部的和諧形式，或者是符合人們思維規(guī)律、有利于推理的數(shù)學(xué)方法與形式；④直觀化原則，將抽象問(wèn)題化歸為直觀問(wèn)題，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題解決思路；⑤正難則反原則，當(dāng)遇到問(wèn)題難以解決，轉(zhuǎn)換思考方向，從反面解決，得出問(wèn)題解決思路。

例如，在解決方程與方程組相關(guān)問(wèn)題時(shí)，可以借助加減消元法或代入消元法將二元一次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解；一元二次方程通過(guò)配方、因式分解達(dá)到降次，轉(zhuǎn)化為一元一次方程，問(wèn)題得以解決；分式方程通過(guò)去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，運(yùn)用化歸思想解決問(wèn)題。如高次方程x4-3x2+2=0，可以運(yùn)用y=x2代入方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元二次方程，逐步解決，再代入得出x的值。再如，對(duì)于多邊形內(nèi)角和的求法，結(jié)合化歸思想，將多邊形添加對(duì)角線，轉(zhuǎn)化為由n-2個(gè)三角形組成的多邊形。由此得出多邊形的內(nèi)角和為180°×（n-2）。平行四邊形、梯形、組合圖形的面積計(jì)算，也可以由化歸思想，將其轉(zhuǎn)化為由幾個(gè)三角形組成的圖形，由此得出面積的計(jì)算方法與公式。通過(guò)掌握化歸方法，以學(xué)生為本，引導(dǎo)學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中，轉(zhuǎn)變思路、開拓思想、應(yīng)用探究，在解決問(wèn)題的過(guò)程中感悟化歸、體驗(yàn)化歸與應(yīng)用化歸，培養(yǎng)科學(xué)素養(yǎng)與探究能力。

四、鼓勵(lì)創(chuàng)新探索，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)化歸思想教學(xué)，需要結(jié)合學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)學(xué)生年齡特點(diǎn)與認(rèn)知規(guī)律以及數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，圍繞數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程，展開化歸思想認(rèn)識(shí)、化歸意識(shí)培養(yǎng)、化歸能力提升的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師需要認(rèn)真透徹地領(lǐng)悟和運(yùn)用建構(gòu)主義理念，遵循學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生感悟、運(yùn)用化歸思想，并鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新探索與實(shí)踐。

例如，圓內(nèi)接△ABC，∠A為圓周角，O是圓心，那么∠OBC的度數(shù)為多少？這一問(wèn)題是關(guān)于圓的問(wèn)題，一般需要通過(guò)做出弦心距，構(gòu)造出直角三角形或等腰三角形解決問(wèn)題。即將圓內(nèi)相關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形、四邊形的一些問(wèn)題。所以這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為等腰三角形底角解決。又如，直徑為2米的圓形水管橫截面，其水面寬為1.6米，求解此時(shí)水最深為多少米？這個(gè)問(wèn)題運(yùn)用化歸思想解決，需借助垂徑定理轉(zhuǎn)化為求解圓心到弦的距離，之后用半徑加上得出的距離，即為問(wèn)題的答案。另外，在不規(guī)則圖形面積的計(jì)算中，通過(guò)化歸轉(zhuǎn)化，觀察圖形，根據(jù)其特點(diǎn)進(jìn)行平移、割補(bǔ)轉(zhuǎn)化為求解規(guī)則圖形，或者是和差問(wèn)題，從而得出問(wèn)題解決思路。由轉(zhuǎn)變思維，創(chuàng)新探索，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)技能與數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師需要重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，融入數(shù)學(xué)思想方法的精華，引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)技能與數(shù)學(xué)素養(yǎng)。通過(guò)夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)、培養(yǎng)化歸意識(shí)、掌握化歸方法、鼓勵(lì)創(chuàng)新探索等教學(xué)思路，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)，扎實(shí)掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，不斷在實(shí)際數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，強(qiáng)化數(shù)學(xué)技能與解決問(wèn)題的能力，并運(yùn)用化歸思想方法解決日常生活中的問(wèn)題，以此提升學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與應(yīng)用能力，為今后的學(xué)習(xí)和生活奠定基礎(chǔ)。

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