指數函數的應用

鄧峰 汪蘭

摘 要：正指數函數是基本初等函數之一，它不僅是一種重要的初等函數，同時，它在生活、生產等實際活動中也應用廣泛。如在疾病控制與統計、生物學、物理學、國民經濟活動、存款利率、人口預測、工業生產等問題上都可以運用其進行解決。

關鍵詞：指數函數；疾病控制與統計；生物學；物理學

隨著時代的進步，科學技術也在不斷創新，其中作為基礎也是必不可少的數學有了長足的進步。而指數函數作為數學里的一頁也有了前所未有的發展。作為函數中基本初等函數的指數函數，在教學中有著不可取代的地位，同時在生活中也有著廣泛的應用。

指數函數并不是在歷史上直接出現的，而是在對數函數出現之后。歷史上由于天文學等方面的計算量太大，為了找到簡便的計算方法而發明了對數函數，針對對數函數求反函數，進而得到指數函數，這一點與現在教材中的順序是相反的。現如今指數函數已經在教材中為人們所學習，但都是就指數函數的一些基礎性學習，而關于指數函數的研究卻遠不止于此。指數函數已在高等數學、微積分學、微分方程等高等數學中有了較深入的研究，同時，指數函數也在實際生活中有著廣泛的應用，如在疾病控制與統計、生物學、物理學、國民經濟等方面都有應用。下面進行分類例析：

一、在生活中的應用

例1.保鮮時間因儲藏溫度的不同而不同，假定保鮮時間與儲藏溫度的關系為指數型函數，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鮮時間是192 h，而在22℃的廚房中則是42 h，（1）寫出保鮮時間y（h）關于儲藏溫度x（℃）的函數解析式；（2）利用（1）中結論，指出在30℃和16℃的保鮮時間（精確到1h）；

解析：（1）設此函數為y=kax，則它過（0，192）（22，42）兩點，代入（0，192）可確定出k=192，再代入（22，42）點即42=192×a22，從而得到a=（7/32）（1/22），所以y=192（7/32）（x/22）。（2）令x=30，利用計算器算出y=20，令x=16，計算得到y=64，用（1）中結論，指出在30°C的保鮮時間為20 h；16°C的保鮮時間為64 h。（精確到1 h）

二、在疾病控制與統計方面的應用

例2.心臟病人數呈上升趨勢，經統計分析，從2000年到2010年的10年間，每兩年上升2%，2009年和2010年兩年共發病815人。如果不加控制仍按這個比例發展下去，從2011年到2014年將有多少人發病？

解：設從2009年起第x個兩年心臟病發病人數為y人，a為第一個兩年間的發病人數，依題意得：y=a（1+2%）x-1，顯然a=815即y=815（1+2%）x-1（x∈N*）。2011年到2014年總計發病人數為815（1+2%）+815（1+2%）2≈1680（人）。

三、在生物學上的應用

例3.菌在培養過程中每15分鐘分裂一次（由一個分裂成2個），這種細菌由1個繁殖成4096個需經 小時。

解：設分裂x次后的細菌數為y，依題意得：y=2x，當這種細菌由1個繁殖成4096個時，y=4096，即4096=2x，所以解得x=12，經過12次分裂。又每15分鐘分裂一次，所以需經過15×12/60=3（小時）。

四、在物理學上的應用

例4.死亡生物組織內的碳14含量不足死亡前的千分之一時，用一般的放射性探測器就測不到碳14了。

（1）死亡生物組織內的碳14經過九個“半衰期”后，用一般的放射性探測器能測到碳14嗎？

（2）大約經過多少萬年后，用一般的放射性探測器就測不到碳14了？

解：（1）死亡生物組織內的碳14的剩余量P與時間t的函數解析式為P=，當時間經過九個“半衰期”后，死亡生物組織內的碳14的含量為P==（）9≈0.002

答：當時間經過九個“半衰期”后，死亡生物組織內的碳14的含量約為死亡前的，所以還能用一般的放射性探測器測到碳14的存在。

（2）設大約經過t萬年后，用一般的放射性探測器就測不到碳14，那么<0.001，解得t>5.7。

五、在存款利率中的應用

某家庭打算用10年的時間存儲20萬元購置一輛轎車，為此每年需要存入銀行數額相同的?？?，年利息為3.5%，按復利計算，問每年應存入銀行多少錢？

解：設每年應存入x元，由題意得：

[（1+3.5%）9+（1+3.5%）8+（1+3.5%）7+（1+3.5%）6+（1+3.5%）5+（1+3.5%）4+（1+3.5%）3+（1+3.5%）2+（1+3.5%）]x=20000.

指數函數作為一個重要的函數，它在生活中的應用是極其廣泛的。希望通過本論文能對指數函數的理解更加深入，為以后的學習、生活打下扎實的基礎。

編輯 王夢玉