用數學的眼光看問題

宋青

近日讀張景中院士《數學家的眼光》一書，頗有收獲。張院士這本書從一些中學生熟悉的問題入手，用通俗生動的語言和簡明易懂的方法，清楚地介紹了數學家是如何從簡單的問題出發，發現問題，思考問題，進而解決問題，并最終提出許多簡潔又深刻的結論。此書讓筆者清楚地感受到數學家看問題的思路和方法，進一步體會到數學的深刻性和透徹性，一些問題看似簡單，平時學習往往缺乏深究，但如果能去尋根究底地問一問，也許會有新的收獲，在讀“定位的奧妙”這一部分的時候，對此感觸深刻。

“定位的奧妙”這部分主要圍繞“兩數相乘，積的位數是什么樣子？”問題展開，首先從我們熟悉的帶小數點的數的乘法來引入問題，例如，3.7×4.3=？這種筆算有特定的定位方法，同時像珠算，用對數表計算、用計算尺計算等都有不同的定位方法，而數學家看問題，總會想找一般規律，于是文章便進行了一系列的為了弄清定位問題的嘗試和探究，該問題看似很小但在真正深入挖掘的過程中，卻反映了學習和研究數學的一般方法，主要包含以下幾個過程：

1.提出問題：為發現定位的一般規律，首先明確提出了“兩數相乘，積的位數是什么子？”這一問題。

2.試驗特例：找規律，先從簡單例子開始。觀察兩個式子3×4=12，3×2=6前一個式子里，右端的最高數位1比3小，比4也小，結果是2位，后一個式子，6比3比2都大，結果是1位，這便啟發我們得出以下猜想。

3.形成猜想：如果積是1位數，積的數字比乘數大；如果積是2位數，積的最高位上的數字比乘數小。

4.約定表達方式：為了用準確的語言把規律表達清楚，并且嚴謹地加以證明，約定了“位數”和“數字大小比較法”的表達方式。

5.建立概念：通過約定表達式便可以清晰嚴謹地建立概念。

乘法定位一般規則：若A×B=C，當C的數字比A（或B）的數字小時，C的位數是A、B的位數之和。否則，C的位數是A、B的位數之和減1。

除法定位一般規則：若被除數的數字比除數小；則商的位數=被除數的位數-除數的位數；否則，商的位數=被除數的位數 -除數的位數+1。

6.證明結論：

對乘法定位的一般規則這一結論進行詳細的證明，有了乘法定位法，自然

可以建立除法定位規則，因為除法是乘法的逆運算，只要把乘式中的積叫做被除數，商和除數都叫做相乘數就可以了。可以將以上規則概括為：“乘積大，和減1；除數小，差加1”（通過后面的更一般問題的拓展，筆者發現，為了使這句概括更準確，還需要包含“等于”的情況。即改為“乘積大或等，和減1；除數小或等，差加1”。）

7.進一步提出更一般的問題：

進一步討論，如果解比例式=，知道了A、B、C和x的有效數字，又知道A、B、C的位數，怎樣確定位數呢？文章對不同情況進行了分類并給出證明。

定位是個小問題，但若不仔細去想，不尋根究底去問，很難弄清楚，也就發現不了其中深刻的數學規律。同樣在學習中也要善于發現好的數學問題，做到“好讀書，求甚解”。

那究竟什么是好的數學問題呢？在本書“珍珠與種子”這一部分也有涉及。不同人對“何為好的數學問題”的回答不盡相同，對此，數學大師陳省身有獨到的見解，他說：“讓青年人知道有‘好數學和‘不好的數學之分。”這里所說的“好”，簡而言之，就是意義深遠，可以不斷深入、影響許多學科的課題；“不好”則是僅限于把他人的工作推演一番、缺乏生命力的題目。我的愿望是讓年輕人盡早懂得欣賞“好的數學”。這讓自己對何為好的數學問題有了更多的認識和思考，在以后解決實際問題的時候能有所取舍。

對于數學問題的思考有一個開闊的思路和全方位的角度，是非常重要的，書中“三角形的內角和”這一部分陳省身教授對“三角形的內角和等于180°”的精辟理解，陳教授說“三角形的內角和等于180°”是不對的，說它不對，不是說這個事實不對，而是說這種看問題的方法不對，應該說“三角形的內角和是360°”！把眼光只盯住內角，就只能看到，n邊形內角和是：（n-2）×180°，如果看外角呢？任意邊形外角和都是360°。

這就把多種情形用一個十分簡單的結論概括起來了，用一個與無關的常數代替了與有關的公式，找到了更一般的規律。陳教授的話啟發讀者思考全方位看問題的重要性，突破慣性的思維方式，尋找更為全面和普遍的規律，這本身也是一種數學能力。

細細研讀，這的確是一本優秀的數學科普類讀物，它比一般的數學書籍多了許多生動和對生活的貼近，同時又不失問題的代表性和數學的嚴謹性，愿與更多熱愛數學的人分享。

編輯 謝尾合