立體幾何中的“割”與“補”

鄭曉華

在解決有些立體幾何問題時，將圖形進行適當的“割”與“補”，使之變成我們熟悉的簡單幾何體，從而獲得新的解題途徑，這也是解決立體幾何問題的基本思想方法之一。

例一：求證棱長為a的正四面體內任意一點到各面距離之和為一常數a。

證明：用分割的思想，如圖1，任取正四面體內一點E，連接EA，EB，EC，ED.可以將正四面體A-BCD分割成四個小四面體E-ABC，E-ACD，E-ABD，E-BCD，并且分別設它們的高為h1，h2，h3，h4.

易知，h1，h2，h3，h4就是E點到各面的距離

則VA-BCD=VE-ABC+VE-ACD+VE-ABD+VE-BCD

即S△BCD·h=S△ABC·h1+S△ACD·h2+S△ABD·h3+S△BCD·h4

而正四面體的每個面都是全等的三角形

所以有S△BCD·h=S△BCD·（h1+h2+h3+h4），即h1+h2+h3+h4=h=a

例二：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，點E、F分別是棱AB、BB1 的中點，求直線EF和BC1所成的角。

解：本題考查異面直線所成的角。如圖2，將其補成正方體，連接AB1、AD1，則AB1∥EF、AD1∥BC，則∠B1AD1就是異面直線EF和BC1所成的角，而△AB1D1是正三角形，所以∠B1AD1=60°。

例三：在正四面體ABCD中，AB⊥AC，BC⊥CD，平面ABC⊥平面BCD，AC=AB，BC=6，∠DBC=30°，求AC和BD所成角的余弦。

解：如圖3，過B作BE∥CD且BE=CD，將三棱錐A-BCD補成一個四棱錐A-BECD，則∠ACE即為AC與BD所成的角。

由題設條件，得AC=3，CE=BD=4

AE2=AD2=AF2+DF2=AF2+CF2+CD2=30

所以cos∠ACE==

例四：求棱長為a的正四面體的外接球半徑。

解：如圖4，將正四面體A-CB1D1補成一個正方體ABCD-A1B1C1D1，則正四面體的外接球就是相應正方體（棱長為a）的外接球，所以外接球心是正方體體對角線AC1的中點O，半徑等于正方體體對角線的一半，所以R=×2=。

編輯 謝尾合