圓的切線證明技巧

張挺雄

圓的切線是九年級數學中的一個重要內容，是在中考中常考的一個知識點。而相當一部分學生在證明一條直線是圓的切線時，有的無從下手，有的證明過程不完整。下面就圓的切線證明歸納總結如下：

一、掌握切線的判定方法，理解切線的概念與特征

1.根據定義，即和圓只有一個公共點的直線是圓的切線。

2.到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線。

3.切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

理解上面的概念，必須抓住兩點：①直線經過半徑的外端；②直線垂直于這條半徑。這兩個條件缺一不可。

二、如何證明一條直線是圓的切線，一般會出現以下幾種情況

1.要證明是圓的切線的直線與圓有公共點，且存在連接公共點的半徑，此時可直接根據“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明，口訣是“見半徑，證垂直”。

例1：如圖1，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAC=∠B=60°，求證：AE是⊙O的切線。

證明：∵AB是⊙O的直徑

∴∠ACB=90°

∵∠B=60°，∴∠BAC=30°

∴∠EAC=60°，

∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°

∵BA⊥AE垂足為A

∴AE是⊙O的切線

2.給出了直線與圓的公共點，但未給出過這點的半徑，則要連接公共點和圓心，然后根據“經過半徑外端且垂直這條半徑的直線是圓的切線”這個定理進行證明，口訣是“連半徑，證垂直”。

例2：如圖2，已知AB為⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線BC，連OC，弦AD//OC，求證CD是⊙O的切線。

證明：連OD

∵OC//AD，

∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC

∵OA=OD，

∴∠DAO=∠ADO，

∴∠COB=∠DOC

又∵OB=OD，OC=OC

∴△OBC≌△ODC，

∴∠OBC=∠ODC

∵BC是⊙O的切線，∴∠OBC=90°

∵∠ODC=90°，∴DC是⊙O的切線。

3.當直線與圓的公共點不明確時，過圓心作該直線的垂線，然后根據“直線與圓相切的定義”去證明，口訣是“作垂直，證相等”。

例3：如圖3，已知OC平分∠AOB，點D是OC上任意一點，⊙D與OA相切于點E，求證：OB與⊙D相切。

證明：連DE，作DF⊥OB，垂足為F。

∵⊙D與OA相切于點E

∴DE是⊙D的半徑，且DE⊥OA

∵OC平分∠AOB，DO在OC上，且DF⊥OB，DE⊥OA

∴DF=DE

∵DF是⊙D的半徑

∴OB與⊙D相切

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