利用數軸求閉區間上二次函數最值問題

耿幸

在我校舉行的一次教育教學研討交流活動中，我聽了兩位數學老師的公開課，課題為“閉區間上的二次函數的最值問題”。

例1.函數f（x）=x2-2ax+2，x∈[1，3]，a∈R記f（x）最大值為g（a），求g（a）的表達式。

老師甲解法：開口向上的二次函數最大值只能在所給出的區間端點上，對稱軸只需與區間中點比較即可。因此，當a≤2時，f（x）max=f（3）=11-6a；當a>2時，f（x）max=f（1）=3-2a.

∴g（a）=

甲老師的解法雖然簡潔明了，但是需要學生有較高的數學思維概括能力，從學生完成練習的情況來看也不是非常理想。

如何能讓學生更容易掌握相應的內容呢？

我們知道，|x-a|表示數軸上實數x和常數a所對應的兩個點之間的距離，根據這一幾何意義，我們只需借助數軸觀察動點的變化范圍，就能解決有關二次函數在閉區間上的最值問題。這種方法直觀性強，容易理解，易于掌握。解題如下：

解法2：配方得：f（x）=|x-a|2-a2+2，所以f（x）最大值取決于區間[1，3]上的動點x與a的距離的最大值。

讓點a在數軸上移動，如圖所示，

在區間[1，3]上到點a距離最大的點必然是區間的端點1或者3，而區間中點2到兩個端點的距離恰好相等，因此，當a≤2時，右端點3到點a的距離最大，所以當x=3時|x-a|的距離最大，因此f（x）max=f（3）=11-6a。

當a>2時，左端點1到點a的距離最大，所以x=1時|x-a|的距離最大f（x）max=f（1）=3-2a

∴g（a）=

上述方法處理更復雜的問題時，思路更加清晰，解題更加流暢。

例2.對任意實數t，求函數f（x）=-cos2x-tcosx-t2的最小值

解：因為f（x）=-|cosx-|2-t2，cosx∈[-1，1]

所以f（x）的最小值取決于區間[-1，1]上的動點cosx與的距離的最大值。

如圖，點在數軸上移動時，在區間[-1，1]上到的距離最大的點必然是區間端點-1或1，且區間中點為0，因此當≤0，即t≤0時，右端點1到點的距離最大，所以，當cosx=1時，|cosx-|的距離最大，因此f（x）min=-t2+t-1

當>0即t>0時，左端點-1到點的距離最大，所以當cosx=-1時|cosx-|的距離最大，因此f（x）min=-t2-t-1

所以，函數f（x）min=-t2-|t|-1

以上給出的幾種求導法各有利弊，需靈活運用，也可結合使用。

參考文獻：

劉瑞美，孫玉.求二次函數最值得幾種形式.中學數學教學參考，2009（23）.

編輯 段麗君