應用幾何畫板進行探究式學習

陳薛琴

【摘要】本文以用“幾何畫板”探求點的軌跡問題為切入點，論述用“幾何畫板”進行探究式學習。這種數學學習的步驟是：從實例出發——用“幾何畫板”進行實驗操作——分析驗證、發現規律——提出猜想、假設——進行證明——再進一步探究拓展。

【關鍵詞】探究式學習 幾何畫板 點的軌跡

利用幾何畫板“探求點的軌跡教學”可以在教師的指導下，讓學生獨立或分組進行觀察和分析，不必用“教師講學生聽”的傳統教學方式進行。實現了即充分發揮教師的主導作用、又使學生成為學習主體的效果，是一個讓學生自主進行探究式學習的直觀環境，創造出了一種新型的探究式學習課堂教學模式。“促進有效學習”的課堂變革。

問題是思維的起點，是學生主動進行探索的動力，我們先來看一個具體的問題。

問題：D是圓A上的動點，C是圓A上的一個定點，問線段CD的中點M的軌跡是什么圖形？

[進行實驗操作]用幾何畫板進行探究中點M的軌跡

探究1：拖動點C使它分別位于圓A內部，圓A外部，此時，CD中點M的軌跡分別是什么圖形？

[發現規律]點M的軌跡均為圓如（圖1-4）。

[提出猜測]這些軌跡是不是半徑相等的圓！

[從感性上升到理性]

由學生集體討論分析為什么？觀察幾何性質，尋找幾何關系，進行合情推理，并證明你的結論。

證明：取AC的中點O，OM=1/2AD為定值，所以M的軌跡為以O為圓心圓A半徑一半長為半徑的圓。

探究2：若C是圓A內一定點，問線段CD的垂直平分線與半徑AD的交點F的軌跡圖形是什么？

用幾何畫板進行探究式得點F的軌跡為橢圓（如圖5），由學生集體討論分析為什么？

證明：因為EF為線段CD的中垂線，由中垂線的性質

FD=FC 所以 FA+FC=FA+FD=AD其中AD為定值，點A與點C為定點，且AC

探究3：若拖動點C到圓A外部，問線段CD的垂直平分線與半徑AD所在直線的交點F的軌跡圖形是什么？

用幾何畫板進行探究式得點F的軌跡為雙曲線（如圖6），由學生進一步分析為什么？

證明：因為EF為線段CD的中垂線，由中垂線的性質

FD=FC 所以 其中R為定值，點A與點C為定點，且AC>AD根據雙曲線的定義，點F的軌跡是以點A，C焦點，R為實軸長的雙曲線.

[總結交流]用“幾何畫板”的動態功能，探究點的軌跡，通過觀察軌跡幾何圖形，尋找幾何不變關系，利用圓、橢圓、雙曲線的定義判定軌跡，進而寫出軌跡方程。

[拓展探究]

探究4：若C是圓A內一定點，線段CD的垂直平分線與半徑AD的交于點F，在直線CF上任取一點L（不是C點）探求點L的軌跡是什么？

用幾何畫板進行探究得軌跡為橢圓（如圖7）.

探究5：若拖動點C到圓A外部，線段CD的垂直平分線與半徑AD所在直線的交于點F在直線CF上任取一點L（不是C點）點L的軌跡又會是什么呢？

用幾何畫板進行探究得軌跡為雙曲線（如圖8）.

利用幾何畫板不僅可以讓學生在教師的指導下進行探究式學習，還可以讓學生主動探究，這樣圓中相關的軌跡問題就成為一個開放性問題。

以下學生自主探究內容（讓學生猜想探究，用幾何畫板演示）

自主探究1：在直線EF上取一點S，探求點S的軌跡（如圖9）。

自主探究2：在直線CD上取一點T，過T點作CD的垂線TQ交直線AD與Q，探求點Q的軌跡（如圖10）。

波利亞說，數學的創造過程與任何其它知識的創造過程一樣，在證明一個定理之前，先得猜想，發現出這個定理的內容，在它全面作出詳細的證明之前，還得不斷檢驗，完善，修改所提出的猜想，還得推測證明的思路，在這一系列的工作中，需要充分運用的不是論證推理，而是合情推理.利用“幾何畫板”的動態功能進行探究點的軌跡學習，讓學生在動態中觀察幾何規律，作出猜想，進行合情推理。如在軌跡問題探究1中，改變定點C的位置，線段CD的中點軌跡都是一個圓，學生在觀察中找出規律，推理出軌跡圓的半徑都為定圓的一半，這樣的幾何不變關系。

利用“幾何畫板”進行探究式學習的模式

從實例出發——用“幾何畫板”進行實驗操作——分析驗證、發現規律——提出猜想、假設——進行證明——再進一步探究拓展。

【參考文獻】

任長松 《探究式學習》 教育科學出版社 2005年2月