0不能作除數的擴展推論

陳德賢

【摘要】 0作因數、被除數在數學教材和數學資料中沿用歷史悠久，但在實際算理中確實自相矛盾，且無實在意義. 所以，0在乘除法算式中應該有一個全面的、準確的定性，那就是0既不能作除數，也不能作因數，更不能作被除數.

【關鍵詞】 0不能作除數；也不能作因數 ；更不能作被除數

引 言

在人教版小學《數學》四年級下冊第6頁中寫到“注意：0不能作除數”. 例如，5 ÷ 0不可能得到商，因為找不到一個數同0相乘得到5. 0 ÷ 0不可能得到一個確定的商，因為任何數同0相乘都得0.這無疑是千真萬確的，但在乘法算式中的因數為0、除法算式中的被除數為0也有類似情況. 由此推論如下.

一、0不能作因數

在人教版小學《數學》三年級上冊第66頁有這樣的例題：0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0（個），0 × 7 = 0（個），7 × 0 = 0（個）. 接著就是想一想：0 × 3 = □，9 × 0 = □ ，0 × 0 = □. 結論是“0和任何數相乘都得0”.在“做一做”和“練習”題中都有0與其他數相乘的類似題. 現以0 × 8 = 0為例進行分析，0與8相乘無疑得0.根據“因數 = 積 ÷ 另一個因數”進行檢驗就產生可疑，積（0）除以因數（8）等于因數（0），即0 ÷ 8 = 0.但積（0）除以因數（0）不等于因數（8），即0 ÷ 0 ≠ 8.我找了幾位同行商討這種原因，他們都說明文規定0不能作除數. 試想：“0不能作除數”，是說在列算式時不能有0作除數的算式.但從0 × 8 = 0中根據乘法各部分間的關系應該有0 ÷ 0 = 8的等式，可0 ÷ 0 ≠ 8，這不是強行要把0作除數，故意違背“0不能作除數”的基本性質，但0不能作除數就與“因數 = 積 ÷ 另一個因數”相沖突，在這沖突的情況下0作除數，0 ÷ 0還是不等于8. 那因數8怎樣才能得到呢？不得而知. 造成這種結果的原因，是0作因數的緣由. 由此0作除數無意義，0作因數也無實在意義. 例題0 × 7 = 0（個），7 × 0 = 0（個），表示 7個0相加，相加的結果仍然得0又有什么意義，就是1千個0、1萬個0相加還是得0并無意義. 所以，0不但不能作除數，0也不能作因數.

“0和任何數相乘都得0” 應該是在特定運算中適用，如604 × 8或640 × 80類算式才適應“0和任何數相乘都得0”的性質 . 不能在乘法算式中把0單獨作因數.

二、0不能作被除數

在人教版小學《數學》四年級下冊第6頁中寫到“0除以一個非0的數，還得0”.此后在第8頁的練習中就有“0 ÷ 36 =0 ÷ 9 =”的算式. 歷屆教材在安排四則運算時都有類似的習題和考題出現. 因為“0除以一個非0的數，還得0”是有關0的一條基本性質非掌握不可. 但根據除法各部分間的關系“除數 = 被除數 ÷ 商”進行檢驗又產生了可疑. 現以0 ÷ 36為例進行分析. 0 ÷ 36 = 0肯定無疑，根據“被除數 = 商 × 除數”即0 = 0 × 36，等式成立，但根據“除數=被除數÷商”，即36 = 0 ÷ 0，從而又出現了0作除數的算式，但這又不是人為要把0作除數，而是從算理上講理應把0作除數，即是從算理上把0作除數，可0 ÷ 0 ≠ 36.那么，36 從哪里尋求答案，也不得而知. 導致此種情況的原因又何在呢？原因是把0作了被除數. 這說明0作被除數也無實在意義. 所以，0不但不能作除數，也不能作被除數.

三、0不能作因數（被除數）的意義

1. 只有0不作因數（被除數）的前提，才能有0不作除數的滿意結果. 否則，像以上兩例“0 × 8 = 0，0 ÷ 36 = 0”中根據乘（除法）各部分的關系進行檢驗，自然出現了0作除數的算式，并且還沒有正確的結果. 數學的算理應該是已知前提，推理運算，所得結論都要求清楚準確. 取消0作因數（被除數）就解決了0自然為除數前后自相矛盾的狀況.

2. 0不作因數（被除數）會解除很多麻煩. 在人教版小學《數學》五年級下冊第5頁中寫到“注意：為了方便，在研究因數和倍數的時候，我們所說的數指的是自然數（一般不包括0）”. 又在第9頁中寫到“整數中，是2的倍數的數叫作偶數（0也是偶數），不是2的倍數的數叫作奇數”. 一是在研究因數和倍數時如果不排除0，0就會為非0數的倍數，這樣 0就自然成了除數. 況且0作非0數的倍數的確無實在意義. 二是0可不列為偶數，因為0既是奇數的倍數，也是偶數的倍數；再則0是偶數就會有“0 ÷ 2 = 0”的算式，也就隨之有0作除數的算式產生.

結 語

0作因數（被除數）確實在算理中不能自圓其說，要解決此種矛盾，那就是0既不能作除數，也不能作因數，更不能作被除數. 因為0作一因數積為0，造成另一因數無準確答案. 被除數為0商就為0，也造成除數無準確答案. 這兩種情況都無實在意義，無實在意義的界定完全有必要廢除.

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