淺析反例在初中數學教學中的功能

李強

反例，通常是指符合某個數學命題條件，但不符合該命題結論的例子，在教學中，恰當地引入典型的反例，能給學生深刻的印象，這對理解數學概念，掌握數學方法，培養探索能力，激發學習興趣，喚起數學美感，都將起很大的作用.

然而舉反例并不是一件容易的事，有時甚至比證明一個命題是真命題更難. 本文結合教學實例，談談反例的教學功能及構造方法.

一、 反例的教學功能

1. 有利于深刻理解數學概念

概念的反例，提供了最有利于辨別的信息，可以進一步使學生對所學概念進行反思，達到“去偽存真”的效果.

例1 教學“正多邊形”的概念.

有些學生認為，邊相等或角相等就是正多邊形，這是受正三角形概念的影響，教學中，若能及時地引入“角相等→矩形；邊相等→菱形”這樣的反例，就能消除這種負遷移. 為了加深理解，還可用下列判斷題組考查學生.

① 圓內接等邊多邊形是正多邊形？

② 圓內接等角多邊形是正多邊形？反例：矩形.

③ 圓內切等邊多邊形是正多邊形？反例：菱形.

④ 圓外切等角多邊形是正多邊形？

⑤ 既有一個內切圓，又有一個外接圓的多邊形是正多邊形？反例：非等邊的三角形.

2. 有利于全面掌握數學定理

恰當引入反例，可以幫助學生牢記定理的關鍵詞語，得到全面掌握的效果.

例2 教學“垂徑定理及其推論”.

垂徑定理推論之一：平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分這條弦所對的兩條弧. 其中“非直徑”三字，很多學生視而不見，為此，教師可舉反例“兩條斜交的直徑”來強調.

垂徑定理推論之二：圓的兩條平行弦所夾的弧相等. 在具體的證題過程中，很多學生總是想當然地逆用：圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩弦平行. 卻不知這個逆命題不成立，教學中可舉反例：同圓兩條直徑所夾的弧相等，但它們相交，而不平行.

3. 有利于準備應用公式

很多性質、法則都是以公式的形式出現的，它們也都有一定的成立條件，教學中要充分利用反例，嘗試“增解”和“漏解”的錯誤，達到準確應用公式的目的.

例3 教學“等比性質”.

4. 有利于培養嚴謹思維，挖掘探究潛能

通過例4的探究求解，學生便會“吃一塹，長一智”，從而培養了他們思維的嚴謹性. 讓我們再看兩個例子.

例4 覆蓋三角形的最小圓是什么？

學生一般會籠統地認為是這個三角形的外接圓. 教師可引導學生分類去探究，便會發現以鈍角三角形的最大邊為直徑的圓，才是覆蓋這個鈍角三角形最小的圓. 從而使學生深深地感覺到：凡事要周密思考，嚴防以偏概全.

5. 有利于激發學習興趣，提高數學素養

美國數學家比爾鮑姆說得好：“一個數學問題用一個反例予以解決，給人的刺激猶如一出好的戲劇，使人得到享受和興奮，為數學作出的許多最優雅的例子證實了這一點.”我們再看：

例5 現代數學教育家G.波利亞曾向人們提出一個饒有趣味的問題：“若兩個三角形有5對元素相等，則這兩個三角形全等嗎？”

當5對元素中有3對元素是邊，毫無疑問，這兩個三角形全等.

6. 有利于發現、創造數學成果

和數學證明一樣，數學反例在數學的發展中占有重要地地位，因為對于數學問題的探究，反例的作用是證明所無法替代的，用反例否定猜想，揭示矛盾，能刺激問題的深入研究，促使數學觀念更新.

二、構造反例的方法

托爾斯泰曾說：“知道地球是圓的并不重要，重要的是人們怎樣得到這個結果的. ”反例在教學中的作用固然巨大，會令人終生難忘，但學生更想知道反例是怎樣構造出來的.

1. 從特殊情況入手，探究嘗試

反例的構造，沒有“公式化”方法，而是要不斷地試探和驗證，有時還需要一點靈感，前面的反例就說明了這一點，但我們通常構造反例，還是從特殊情況入手，有時甚至極端化.

2. 打破思維定式，窮盡各種可能

司馬光砸缸救小孩的故事，充分說明了求異思維的重要性，打破思維定式，窮盡各種可能，是構造反例的又一途徑.

提到三角形，我們常想起銳角三角形，有時候也要注意鈍角三角形. 三角形的高，我們常畫在形內，有時候也可以在形外. 類似地，圓心可在兩弦之間，也可在兩弦同旁；公共弦可以在兩圓心之間，也可在兩圓心同側……這些都是我們解題時需要窮盡的可能，也都是我們構造反例的入手點.

在數學解題教學中，與正面推理證明相比，數學反例對學生思維的刺激更為強烈. 因此，教師常在教學關鍵時刻，巧用簡明的數學反例，往往可以擊中學生思維誤區的要害，促使他們深入思考問題，透徹理解問題的本質.