依托概念培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思維習(xí)慣

張建平

許多數(shù)學(xué)老師都遇到過這樣的問題，一些學(xué)生在求解含有字母系數(shù)（未知數(shù)除外，下面出現(xiàn)的方程均以x為未知數(shù)）的方程、不等式、函數(shù)等問題時(shí)，常常一廂情愿地把題目中沒有明確的條件，下意識(shí)地當(dāng)作已經(jīng)明確的條件應(yīng)用到解題過程中，自己還渾然不知. 自然，這樣得到的結(jié)果要么不完整，要么甚至是錯(cuò)誤的. 為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象呢？究其原因是多方面的，除了粗心、不會(huì)、不懂之外，還有一個(gè)重要的原因是部分學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中沒有養(yǎng)成分類討論的思維習(xí)慣.

本文就學(xué)生在平時(shí)的課堂學(xué)習(xí)過程中，如何依托概念，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成分類討論的思維習(xí)慣談?wù)勛约旱目捶?，不到之處懇?qǐng)同行們批評(píng)指正.

一、準(zhǔn)確理解概念是養(yǎng)成分類思維的根基

數(shù)學(xué)中的每一個(gè)概念，比如定義、定理、公式等，都是由條件和結(jié)論兩部分組成的，進(jìn)一步，那就是這些概念都有著明確的條件和結(jié)論，使用它們解題時(shí)只有在條件明確具備的前提下，才能得到正確的結(jié)論. 換言之，如果條件模糊不明確，也就是條件不具備或不完全具備，就無法得出正確的結(jié)論.

例如，解不等式 > 1，該不等式的解法有多種方法，有學(xué)生為了走“捷徑”這樣解，去分母，得1 > x，所以原不等式的解為x < 1. 這樣解當(dāng)然是錯(cuò)誤的，但是學(xué)生有走“捷徑”的想法本身并沒錯(cuò)，那問題出在哪兒呢？究其根源，問題出在學(xué)生對(duì)不等式的相關(guān)概念的理解不到位造成的. 不等式有這樣兩條基本性質(zhì).

性質(zhì)1：不等式兩邊乘（或除）以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；

性質(zhì)2：不等式兩邊乘（或除）以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.

仔細(xì)研讀這兩條性質(zhì)，就可以看到，兩條性質(zhì)其實(shí)就是兩種情況（分類的萌芽），這兩種情況明白無誤地告訴我們?cè)诓坏仁絻蛇叧耍ɑ虺┮酝粋€(gè)正（或負(fù)）數(shù)時(shí)，要考慮不等號(hào)方向是否改變，而不等號(hào)方向是否改變，則依賴于條件中所乘（或除）以的數(shù)的正負(fù)是否明確. 現(xiàn)在回到不等式 > 1，去分母，必然要在該不等式兩邊同乘以x，問題來了，所乘數(shù)x的正負(fù)明確嗎？回答當(dāng)然是不明確. 至此，要想通過去分母來解決此不等式，自然而然要對(duì)x的正負(fù)情況做分類討論.

解答如下：當(dāng)x > 0時(shí)，去分母得，1 > x，即x < 1，此時(shí)不等式解為0 < x < 1；當(dāng)x < 0時(shí)，去分母得，1 > x，即x > 1，此時(shí)不等式無解.

從這里可以看到，依托概念分析問題中的條件是否具備恰恰是分類思維的端倪.

二、對(duì)比問題和概念中的條件的同異是養(yǎng)成分類思維習(xí)慣的好方法

下面以一元一次方程和一元二次方程的概念為依托，來做進(jìn)一步的分析說明.

例1 解一元一次方程ax + b = 0；

例2 解方程ax + b = 0（a ≠ 0）；

例3 解方程ax + b = 0.

分析：顯然這三個(gè)例子都是基于學(xué)生學(xué)過的一元一次方程這個(gè)概念而來的，所以首先要明確概念，“只含有一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1的方程叫一元一次方程” . 其次，以概念為依托，分析有無分類討論的必要. 例1和例2其實(shí)是同一個(gè)方程，為什么呢？例1以文字的形式明確顯示（隱含a ≠ 0）該方程是一元一次方程，例2以方程后附加條件a ≠ 0也明確顯示出該方程是一元一次方程，所以這兩個(gè)方程雖然含有字母系數(shù)卻不需要討論. 例3則不同于前兩個(gè)，該方程是否一元一次方程條件并不明確，條件不明確怎么辦？分類討論順勢(shì)而來.

例4 解方程ax2 + bx + c = 0.

分析：仍然先明確概念，“等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫作一元二次方程”. 其次明確教材中關(guān)于一元二次方程的概念和它的一般形式 “ax2 + bx + c = 0（a，b，c是常數(shù)且a ≠ 0）”本質(zhì)上條件相同 .拿例4與概念相對(duì)比，就可以看出二者的不同，一般形式中對(duì)字母系數(shù)a，b，c有著明確的規(guī)定，且強(qiáng)調(diào)a ≠ 0，而例4中字母系數(shù)a，b，c并沒有這樣的規(guī)定，也就是不明確. 這不就在引導(dǎo)我們條件模糊不明確時(shí)應(yīng)當(dāng)要分情況討論嗎？至此分類的想法自然而然就在頭腦中產(chǎn)生了. （至于如何分類，那是另一個(gè)問題，這里不做討論）

例4的略解：當(dāng)a = 0時(shí)，有bx + c = 0，此時(shí)解法同例3.

通過上面對(duì)含字母系數(shù)的方程簡單分析，我們可以看到，理解方程概念進(jìn)而依托概念，可以幫助同學(xué)們?cè)诮獯鸷帜赶禂?shù)的方程中建立起良好的分類思維意識(shí)和習(xí)慣. 這種思維習(xí)慣不僅在方程中隨處可見，在其他諸如不等式、函數(shù)、幾何中點(diǎn)線面的相對(duì)位置的討論等，都處處可見. 因此，把握概念，以概念為依托培養(yǎng)學(xué)生建立起良好的分類討論的思維習(xí)慣，這對(duì)學(xué)生將來解決一些較復(fù)雜的問題打下了基礎(chǔ).