淺談數學美的基本特征

李萍萍 楊月婷

【摘要】 數學是科學的語言，帶有一種獨特的理性美，無論是在內容或結構還是方法上都具有特殊的美——數學美，數學美的基本特征是簡潔性、和諧性和奇異性. 數學家們在追求美的過程中也推動了數學整體的發展，為現代科學技術發展作出巨大的貢獻.

【關鍵詞】 數學美；簡潔性；和諧性；奇異性

自然界是美的，美源于自然； 科學是美的，美體現科學； 數學是美的，美是數學的靈魂. 凡是受過教育的人，大都不同程度地領悟過數學的美. 數學美作為社會實踐活動的產物，在客觀上構成人的審美對象，是一種在解釋自然、宇宙規律的過程中體現出來的美，它是一種帶有數學科學特征的理性美.

1. 簡潔美

在數學美的各個屬性里，首先要推崇的是簡潔性. 數學的簡潔美，并不是指數學內容本身簡單而是指數學的表達形式和數學理論體系的結構簡潔. 它包括符號美、公式美等. 萊布尼茲用“ f（x）dx”這一簡潔的符號表達了積分概念的豐富的思想，刻畫出“人類精神的最高勝利”，積分號“ ”是英語單詞總和“sum”中將首個字母“s”拉長而演變而來的，既簡潔深刻，又修長優美. 因此，有些數學家把微積分比作“美女” . 還有像“∞”“≈” 等符號，也都有著無與倫比的美， 更能形象直觀地刻畫所代表的事物，使人易于接受.

數學中的許多公式、定理、公理、論證都充滿著簡潔的特征，往往許多現象可以歸納為數學的一個公式、一個方程、一個函數關系. 例如，歐拉給出的公式：V - E + F = 2，其中V是頂點數，E是棱數，F是面數. 世間的多面體有多少，沒有人能說清楚，但它們的頂點數V、棱數E、面數F都必須服從歐拉給出的公式，一個如此簡單的公式，概括了無數種多面體的共同特性.

數學美的簡潔性，還常常作為衡量思維方法之優劣和解題水平之高低的重要標準，也是數學家追求的目標. 傅里葉在創立“傅里葉級數”時，也進行了有關簡潔性的考慮，正如他自己所說： “每一個數學函數，無論多復雜，總可以表示為某些簡單的基本函數（即相當于形成音樂中的純音，或光學中的純色的那種函數）之和.”眾所周知，數學是邏輯地展開的，因此簡潔性的要求在數學中就集中地反映在對公理的要求上： 對單個公理來說，要求它們是“自明的”； 對整個公理系統來說，則要求是相容、獨立和完備的. 而第五公設卻與公理的簡潔性相悖，其在陳述與內容上的復雜和累贅，使得古代學者對此產生懷疑，因而紛紛致力于第五公設的證明，促使了非歐幾何的形成，從而推動著數學的發展.

2. 和諧美

徐利治教授提到過，“美”的基本含義是： 凡事物關系（及其呈現形式）的和諧性與簡單性就是美，凡是和諧的必然是簡單的，所以“和諧性”是美的本質核心. 著名德國數學家和物理學家魏爾說： “美和對稱緊密相連.”作為研究現實世界的空間形式與數量關系的數學，自然會滲透著圓滿和自然的對稱美. 例如： 函數與反函數圖像關于直線y = x對稱，代數中的代數式化簡時的共軛因子，多項式方程虛根的成對出現，都給人以一種對稱性的美感. 在抽象代數中，群是刻畫事物對稱性的工具，在群論的基礎上給出了晶體對稱性定律，這是群論對結晶學也是對自然科學的重要應用，它也推動了群論本身的發展. 對于對稱美的追求，早已超越現代數學而滲透到各門自然科學之中，并且越來越多地獲得更為豐富的成果.

談到幾何之美，人們更忘不了比例美. 它也是和諧美的一個重要方面，美麗的“黃金分割”體現了數學美的和諧性，它的這種比例性給人以和諧悅目的感覺.達·芬奇的《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的臉就符合黃金比例；世界上最著名的建筑物中幾乎都包含著“黃金分割比”，例如巴黎圣母院的正面高度和寬度的比例就是8 ∶ 5，它的每一扇窗戶長寬比例也是如此； 攝影時相機里通常會有九宮格功能， 九宮格的實質是黃金分割的簡化版，在取景時可以把景物放在九宮格中，這樣拍攝出來的景物也給人一種和諧美； 黃金分割還為最優化方法的建立提供了依據， 實驗統計表明，對于一個線性搜索問題，用“0.618法”做16次實驗，就可以取得“對分法”做2500次試驗所達的效果，它能使我們用較少的實驗找到合適的工藝條件和合理的配方. 意大利文藝復興時期的理論家帕喬里說過： “一些企求的物品，都得服從于黃金分割率”，這就是說，“黃金分割”乃是人們所追求的一種形體美和勻稱美.

3. 奇異美

奇異性也是數學美的基本特征之一，它給數學的發展帶來了新的活力. 徐利治教授說： “奇異是一種美，奇異到極度更是一種美.”歐拉將數學中復數的最基本單位1和i，緊接在1后面的一個原始數2，自然對數的底e，圓周率π用一個式子e-2πi = 1聯系起來，即：

e-2πi = cos（-2π） + i sin（-2π） = 1.

考察一下表示這些關系的要素和運算的性質，就會為這些關系所表示出的高度神秘性和極度的奇異性所傾倒.

奇異性常常與數學反例聯系在一起，而反例的得出則往往導致認識的深化和理論的重大發展. 18世紀后期的一些數學家認為，連續函數至少在某些點處可以微分，然而德國數學家魏爾斯特拉斯卻在1860年找到了一個處處連續而又處處不可微的函數. 這個反例的發現，不僅沒有影響到函數的連續性概念的研究，相反的，對于函數的連續性概念得到了更為深入的理解，大大推動了數學分析的發展.

數學中類似于上面奇異例子還可以列舉很多，抓住奇異現象，關注奇特的結果，是數學研究中極具誘惑力的內容之一，是數學研究不盡源泉的一個動力.

綜上所述，我們淺析了數學美的基本特征： 簡潔性、和諧性和奇異性. 對于數學美的追求，歸根結底是對于數學真理的追求，從各個數學分支的展開到整個數學歷史的發展，就像一個故事那樣，顯得跌宕起伏和扣人心弦，簡潔美、和諧美和奇異美它們之間有機地結合，組成一個完美的整體，構成一幅至善至美的數學畫卷. 而恰恰是數學家們在追求美的過程中，推動著新的數學分支的產生， 數學整體的發展又為現代科學技術發展作出了巨大的貢獻.