高等數學背景下的考題

楊相春

【摘要】高考命題的專家越來越重視初、高等數學知識的銜接，用初等數學方法來解答，往往蘊含著豐富的數學思想，對于訓練思維非常有好處.從線性變換、不動點和凹凸函數三個方面給出例證.

【關鍵詞】高等數學；高考；數學思想

隨著新課改的不斷推進，參與高考命題的專家越來越重視初、高等數學知識的銜接，很多高考題、模擬題的命制都喜歡有著高等數學背景的定理，這些看起來抽象、高深的定理下放到中學試卷中，用初等數學方法來解答，往往蘊含著豐富的數學思想，對于訓練思維非常有好處.

下面我將從線性變換、不動點和凹凸函數三個方面給出例證.

一、線性變換

例（2009四川卷）設V是已知平面M上所有向量的集合，對于映射f：V→V，a∈V，記a的象為f（a）.若映射f：V→V滿足：對所有a，b∈V及任意實數λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），則f稱為平面M上的線性變換，現有下列命題：

①設f是平面M上的線性變換，a，b∈V，則f（a+b）=f（a）+f（b）；

②若e是平面M上的單位向量，對a∈V，設f（a）=a+e，則f是平面M上的線性變換；

③對a∈V，設f（a）=-a，則f是平面M上的線性變換；

④設f是平面M上的線性變換，a∈V，則對任意實數k均有f（ka）=kf（a）.

其中的真命題是.（寫出所有真命題的編號）

解析

理解何為“平面M上的線性變換”，是解題關鍵，對于①④可用特殊值驗證，對于②③抓住定義即可.

對①，令λ=μ=1，則有f（a+b）=f（a）+f（b），故①是真命題.

對②，f（b）=b+e，且f（λa+μb）=λa+μb+e，而λf（a）+μf（b）=λ（a+e）+μ（b+e）=

λa+μb+（λ+μ）e，但λ+μ不恒等于1，故②是假命題.

對③，有f（b）=-b，則f（λa+μb）=-（λa+μb）=λ（-a）+μ（-b）=λf（a）+μf（b）是線性變換，故③是真命題.

對④，令λ=k，μ=0，則f（ka）=kf（a），故④是真命題.

認清“平面M上的線性變換”定義是解出這道題的關鍵.

二、不動點

例對于f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0是f（x）的不動點.已知函數f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）（a≠0）.

（1）當a=1，b=-2時，求函數f（x）的不動點；

（2）對任意實數b，函數f（x）恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍.

解析（1）a=1，b=-2時，f（x）=x2-x-3，若x0是f（x）的不動點，則x02-x0-3=x0，解得x0=-1或x0=3，所以-1和3是f（x）=x2-x-3的兩個不動點；

（2）因為f（x）有兩個相異的不動點，所以方程f（x）=x有兩個不同的解，所以

f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）=x，即ax2+bx+（b-1）=0有兩個不等的實根，所以

Δ=b2-4a（b-1）>0成立，即對任意b∈R，b2-4ab+4a>0恒成立，所以（-4a）2-4·4a<0，

所以0

只要認清了不動點的定義，這道題很容易用初等數學知識解答.

三、凹凸函數

近年高考出現了一類函數——凹凸函數，為更好的體現直觀性，給出定義：函數f（x）在區間D=[a，b]內，若x1，x2∈D時有：

fx1+x22

fx1+x22>f（x1）+f（x2）2（x1≠x2），則稱f（x）在D內為凸函數.

從定義可以看出“凹函數”圖像是向下凹的，“凸函數”圖像則是上凸的.

例在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cos2x這四個函數中，當0f（x1）+f（x2）2恒成立的函數的個數是（）.

A.0B.1C.2D.3

解析在區間（0，1）是滿足fx1+x22>f（x1）+f（x2）2的函數是凸函數，上述四個函數中只有y=log2x在區間（0，1）上是凸函數，故選B.

出現高等數學背景下的考題時，考生首先是要冷靜分析試題，因為這類題目多為新題，是考生平時沒見過的內容，因此認清題目考查的本質，從初等數學中找出解題的突破口.期待更多的高等數學背景下的考題出現在高中，這樣能更好地考查、鍛煉學生的分析、理解問題的能力.