四色猜想（定理）簡(jiǎn)單證明

王錦根

【摘要】通過相鄰關(guān)系存在區(qū)域多少，證明四色猜想成立.

【關(guān)鍵詞】四色猜想；圖論

一、概念

地圖四色定理（Fourcolortheorem）最先是由一位叫古德里FrancisGuthrie的英國(guó)大學(xué)生提出來的.四色問題的內(nèi)容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色.”用數(shù)學(xué)語言表示即“將平面任意地細(xì)分為不相重疊的區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域總可以用1234這四個(gè)數(shù)字之一來標(biāo)記而不會(huì)使相鄰的兩個(gè)區(qū)域得到相同的數(shù)字.”這里所指的相鄰區(qū)域是指有一整段邊界是公共的.如果兩個(gè)區(qū)域只相遇于一點(diǎn)或有限多點(diǎn)就不叫相鄰的.也就是說在不引起混淆的情況下一張地圖只需四種顏色來標(biāo)記就行

區(qū)域顏色

A色1

B色2

C色3

D色4

…………

二、初探及證明

在平面或地圖中，至少需要幾種顏色（簡(jiǎn)稱“幾色”）標(biāo)注具有共同邊界的區(qū)域或國(guó)家.如果數(shù)個(gè)區(qū)域任意兩個(gè)均不相鄰，則依舊可用單色（一色）標(biāo)識(shí)，如在地圖中，我們?nèi)芜x一種顏色，當(dāng)我們將其他顏色抹去后，將會(huì)發(fā)現(xiàn)它們互不相鄰.所以，相互相鄰的區(qū)域多少，決定了顏色的多少.我們可以從最少數(shù)量拓展.

定理1在平面中，相互相鄰區(qū)域的多少，決定了顏色的多少.

性質(zhì)1數(shù)個(gè)互不相鄰的區(qū)域，可以采用單色標(biāo)記.

注：A，B，C，D，…，表示區(qū)域名稱，此時(shí)A，B，C，D可以同色.

性質(zhì)2如果兩個(gè)區(qū)域相鄰，則可以兩色標(biāo)記.

性質(zhì)3如果三個(gè)區(qū)域相互相鄰（即任兩個(gè)區(qū)域相鄰），則可以用三色標(biāo)記.

由于A，B，C三個(gè)區(qū)域相互相鄰，則A，B，C三個(gè)區(qū)域按照平面上的點(diǎn)來計(jì)，則形成封閉的三角形，那么第4塊區(qū)域怎么與A，B，C相鄰呢？

設(shè)第四塊區(qū)域D.

1.如果D不能同時(shí)與A，B，C相鄰，則色數(shù)不增加.假如D不能與C相鄰，則D，C可采用同一色.

2.如果D同時(shí)與A，B，C相鄰，在平面（地圖）中，則D必處A，B，C相鄰圖的中心或外圍.

（1）當(dāng)D處于A，B，C相鄰中心時(shí)，則D被A，B，C包圍（與外界隔離），似乎增加D區(qū)域，標(biāo)記為色4，但A，B，C，D區(qū)域外的區(qū)域仍可以利用色4標(biāo)記，色4成了其他（向外擴(kuò)展）區(qū)域的機(jī)動(dòng)色（即：可以再次使用或標(biāo)記），無需增加色5.形象地說，當(dāng)一色被隔離（“死亡”）后，它可以在隨后的其他地方“復(fù)活”.四色定理從這點(diǎn)理解應(yīng)該是“3+1”色，這個(gè)“1”表示為可再次使用的顏色，即在四色中，向外拓展時(shí)，有一種顏色可以再次使用，那就是這個(gè)“1”色.

（2）當(dāng)D與相鄰的A，B，C外圍相鄰時(shí)，雖然用色4標(biāo)記，這是至少有一色被D區(qū)域“與世隔絕”，當(dāng)E區(qū)域標(biāo)記時(shí)，被隔離的一色可以與區(qū)域E同色.同樣，四色定理可以理解為“3+1”定理，無需增加色5.

定理2在平面中，相互相鄰區(qū)域的最多為4.

所以在地圖（平面圖）顏色標(biāo)記中，當(dāng)三個(gè)區(qū)域相鄰時(shí)，每增加1個(gè)區(qū)域（顏色）與三個(gè)區(qū)域相鄰時(shí)，雖然增加1個(gè)顏色，達(dá)到四色，但同時(shí)必有“1”或以上被“隔離”而被再次使用，“3+‘1-1+1-……”如此循環(huán)不斷下去，始終不會(huì)超過四種顏色.

綜上所證，在平面或地圖中，各區(qū)域顏色標(biāo)記可以用“3+‘1-1+1…”或“3+1”顏色標(biāo)記，即四色猜想（定理）成立.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張文忠.數(shù)園擷英[J].科學(xué)普及出版社，1983.