一道課后習題的多種解法與思考

王永利

【摘要】 一道普通的課后習題，只要我們深入研究，往往會發現多種解法. “已知⊙O外一點P，你能用尺規過點P作⊙O的切線嗎？你有幾種方法？”對于這道課后習題，我們可以利用直徑所對的圓周角是直角作圖;也可以利用等腰三角形的“三線合一”作圖;可以通過構造全等的直角三角形作圖：（1）利用圓中的條件構造全等的直角三角形;（2）借助圓外任意直角構造全等的直角三角形. 以上解法，豐富多彩，細細品味，每一種解法都有它的獨到之處.

【關鍵詞】 切線;不同解法;圓周角;三線合一;直角三角形

北師大版九年級下習題3.8問題解決：“已知⊙O外一點P，你能用尺規過點P作⊙O的切線嗎？你有幾種方法？”此題考查學生靈活運用所學知識解決問題的能力，有一定的難度. 解決該題的關鍵是如何作以半徑為一邊，頂點在圓上的直角. 方法1：利用直徑所對的圓周角是直角作圖（如圖1）

作法：①連接OP，以OP為直徑作⊙C，與⊙O交于A，B兩點;

②作直線PA，PB.

則直線PA，PB即為⊙O的切線.

證明：連接OA，OB.

由OP為⊙C的直徑，所以∠OAP = ∠OBP = 90度.

又OA，OB為⊙O的半徑，所以直線PA，PB即為⊙O的切線.

方法2：利用等腰三角形的“三線合一”作圖（如圖2）

作法：①連接OP，交⊙O于點D，延長DO交⊙O于點C;

② 分別以點O、點P為圓心，以直徑CD長、OP長為半徑畫弧，兩弧交于點Q;

③ 連接OQ，PQ，OQ交⊙O于點A，作直線PA.

則直線PA為⊙O的切線.

證明：∵OQ = CD = 2OA，∴ OA = ?AQ.

∵ PQ = PO，∴ ∠OAP ?= 90度.

所以直線PA為⊙O的切線.

方法3：構造全等的直角三角形作圖

（1）利用圓中的條件構造全等的直角三角形（如圖3）

作法： ① 連接OP，交⊙O于點C;

② 過點C作OP的垂線MN;

③ 以點O為圓心，OP長為半徑畫弧，交直線MN于點D，E;

④ 連接OD，OE，交⊙O于點A，B，作直線PA，PB.

則直線PA，PB為⊙O的切線.

證明：∵OP = OD，OA = OC，∠AOP = ∠COD，

∴ △AOP ≌ △COD. ∴ ∠OAP = ∠OCD = 90度.

同理可得∠OBP = ∠OCE = 90度.

則直線PA，PB為⊙O的切線.

（2）借助圓外任意直角構造全等的直角三角形（如圖4）

作法：①連接OP，交⊙O于點B;

② 任意作∠MAN = 90度，在邊AM上截取AC = OB;

③ 以點C為圓心，OP為半徑畫弧，交AN于點D，連接CD;

④ 以點P為圓心，AD長為半徑畫弧，交⊙O于點E、點F，連接OE，OF，作直線PE，PF.

證明：∵AC = OE = OF，AD = PE = PF，DC = OP，

∴ △ADC ≌ △EOP ≌ △FOP

∴ ∠OEP = ∠OFP = ∠CAD = 90度

則直線PA，PB為⊙O的切線.

回顧與思考： 以上解法，豐富多彩，細細品味，每一種解法都有它的獨到之處.

解法1緊扣本章所學內容，即在圓中直徑所對的圓周角是直角. 通過連接OP，并以OP為直徑作圓，從而得到直角. 方法簡潔明晰.

解法2利用等腰三角形的“三線合一”作圖. 首先利用圓規畫出等腰三角形，而底邊的中點恰好也在圓上，從而就有底邊上的中線，由等腰三角形的“三線合一”即可得到直角. 該方法體現了思維的靈活性.

解法3靈活運用全等三角形的構造方法. 變式1是在圓的基礎上構造全等的直角三角形. 變式2是構造全等三角形方法的一般化，是拓廣. 該方法體現了思維的廣泛性和深刻性. ?解法中的多條輔助線充滿了智慧，把陌生的作圖問題轉化為熟悉的全等圖形問題，從而使問題迎刃而解.

一道普通的課后習題，只要我們深入研究，往往會有多種解法，這些解法中往往會包含著多種數學思想與方法，每一種解法的誕生都不是憑空而降的，它來源于平時積累的知識與方法、靈感與智慧、思維與創造.因此，在日常教學中，我們要重視在知識和技能中所蘊含的數學思想方法的教學，從初一做起，循序漸進地讓孩子們掌握數學的知識和技能，尤其是數學思想方法，逐步形成能力，運用自如.在日常學習中，我們要重視對解題方法的總結，通過一題多解、一題多變，舉一反三、觸類旁通，從思維的發散到集中，總結規律性的東西，形成學習經驗，提高解題效益，讓學生的思維能力得到發展.