“表面涂色的正方體”數學內涵探討

金震宇

一、前 ? ?言

“表面涂色的正方體”是小學數學教學中受廣泛關注的內容. 有些版本教材在小學三年級就涉及該內容，也有到初中一年級才出現.

我國小學版數學雜志已有較多文章或教案討論該課題，這些都是老師們辛勤工作的教學經驗總結，十分可貴. 我是小學六年級學生，本學期蘇教版采用了“表面涂色的正方體”內容，該內容對我很有吸引力，它使我加深了立體空間概念，啟發我從空間圖形中去尋找規律，并且嘗試用數學思維尋求規律，這是從實際上升到理論，從個別提高到一般的極好教學典范章節.

“表面涂色的正方體”又好像一個“數學魔方”， 使我從中得到樂趣和啟發，我們能在玩轉這個“數學魔方”中，深入探討其內涵，會在游戲中增長知識和創新能力，以及理論聯系實際的能力.

二、從實際空間圖形中去尋找數學表示

教材中要求我們要回答下列幾個問題：把一個表面涂色的大正方體，將其2份、3份、4份、5份……n份切開，分別能切成多少個同樣大小的正方體？其中3面涂色、2面涂色、1面涂色、無色各有多少個？它們分別處在大的正方體的什么位置？小正方體個數隨n的變化數學表示是什么？

首先讓我們從大的正方體每條棱平均分成2份、3份、4份尋找規律，請參見圖1.

圖1 ? 大的正方體每條棱平均分成2份、3份、4份涂色，小正方體分布，其中紅色為3面涂色小正方體，黃色為2面涂色小正方體，藍色為1面涂色小正方體，無色處于大的正方體剝除所有被涂色的小正方體外表層中間.

大正方體中切成小正方體的總個數，以及3面涂色、2面涂色、1面涂色、無色小正方體的總個數如表1所示，其位置已在圖1標出.

表1所有數值和表示是怎樣求得的呢？我是這樣分析的：

1. 求大正方體中切成小正方體的總個數，只要把小正方體視為度量單位，就類似求正方體體積一樣，求得n3.

2. 3面涂色切成小正方體的總個數無論是大的正方體每條棱平均分成2 ?份、3份、4份，…，n份，它們只出現在大正方體的8個頂點處，所以與大的正方體每條棱平均分分法無關，都為8個. 在圖1中它們都以紅色涂面表示.

3. 求2面涂色切成小正方體的總個數略麻煩些，它們從大正方體每條棱平均分成3份，及以上才出現，而且它們都出現于大正方體的中間層，本文圖2中表示大的正方體每條棱平均分成3份，在其上、下、左、右面切出的中間層展示圖，該截面清晰顯示有4個2面涂色切成小正方體它們分別位于截層的4角上. 用同樣分析方法，我們還可以在大的正方體每條棱平均分成3份的前、后、左、右橫切截面各自找到4個2面涂色切成的小正方體，以及大的正方體每條棱平均分成3份的前、后、上、下豎切截面各自找到4個2面涂色切成的小正方體. 所以大的正方體每條棱平均分成3份的大的正方體共有4 × 3 = 12（個）2面涂色切成小正方體.

若大正方體每條棱平均分成4份，從圖1可見，僅是又增加了圖2中三個中間層，即又增加了12個，即12 × 2 = 24（個）.

容易推論，若大正方體每條棱平均分成n份，2面涂色小正方體的總個數可寫為：12（n - 2）的一次方關系，括號中減2是來源于2面涂色小正方體層數總比每條棱平均份數少2.

4. 求1面涂色切成小正方體的總個數很簡單，從圖1可見（藍色小方塊），它們都位于大正方體6個面的中間，大的正方體每條棱平均分成3份時，每個面僅1個1面涂色切成小正方體，故總數為6個.

但是大的正方體每條棱平均分成4份時，因為小正方體一邊份數比每條棱平均分成4份數少2個，所以一個面小正方體的個數為（4 - 2）2 = 4個，是2次方增加. 大正方體因為有6個面，所以大的正方體每條棱平均分成4份小正方體的總個數為：6（4 - 2）2 個.

容易推論，若大正方體每條棱平均分成n份，1面涂色小正方體的總個數可寫為：6（n - 2）2的2次方關系.

5. 無色小正方體全部位于大正方體中心部，如移走大正方體最外層所有涂色小正方體，無色小正方體總數形成正方體出現. 大的正方體每條棱平均分成3份時，與上文討論一樣原因，無色小正方體僅（3 - 2 =） 1個，如大的正方體每條棱平均分成4份時，無色小正方體增為（4 - 2）3 = 8（個）. 大的正方體每條棱平均分成5份時，無色小正方體增為（5 - 2）3 = 27（個）. 它們和體積增加類似，是3次方增加.

容易推論：若大正方體每條棱平均分成n份，無色小正方體的總個數可寫為： （n - 2）3的3次方關系.

三、玩轉這個“數學魔方”，深入探討其內涵

1. 我發現在大正方體表面拿走一塊小正方體，因小正方體所處環境不同，引起大正方體表面積總面積逐級以2個小正方面面積減少規律：

拿走一塊一面涂色小正方體，大正方體表面積增加4個小正方面面積;

拿走一塊兩面涂色小正方體，大正方體表面積增加2個小正方面面積;

拿走一塊三面涂色小正方體，大正方體表面積不變;

拿走一塊暴露出四面小正方體，大正方體表面積減少2個小正方面面積;

拿走一塊暴露出五面小正方體，大正方體表面積減少4個小正方面面積;

拿走一塊暴露出六面小正方體，大正方體表面積減少6個小正方面面積。

總之如上隨小正方體暴露面增加，它拿走后大正方體表面積總面積逐級以2個小正方面面積減少的規律相應逐減.

其對應關系：

拿走一塊小正方體 ?1面 ?2面 ?3面 ?4面 ?5面 ?6面

增加小正方面面積 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4個 ?2個 ?0個

減少小正方面面積 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2個 ?4個 ?6個

該規律不限于表面涂色的正方體，對于討論整齊堆積若干小長方體或正方體形成的總表面積都適用.

如上規律有實際應用價值，可指導人們怎樣堆積或取走有污染的小正方體.

2. 如圖3，長方體涂色切成小正方體有何變化規律？留給讀者思考.

3. 小學低年級同學想一想下面幾個問題：

（1）如上文所述，隨小正方體暴露面增加，它拿走后大正方體表面積總面積逐級以2個小正方面面積減少的規律相應逐減，用正、負數表示這種逐步變化.

（2）n ≥ 3的“數學魔方”一個面有幾個對稱軸？

（3）n ≥ 3的“數學魔方” 1面涂色切成小正方體的總個數占涂色小正方體的總個數6n2的幾分之幾？

（4）產生隨小正方體暴露面增加，它拿走后大正方體表面積總面積逐級以2個小正方面面積減少的規律相應逐減的幾何原因是什么？

4. 初一同學能以更高數學方法表述該“數學魔方”，很值得期待.

5. 高一老大哥玩轉這個“數學魔方”有用武之地嗎？應該有！

【參考文獻】

[1]朱耀峰.“表面涂色的正方體”教學設計與思考.教育研究與評論：小學教育教學，2014（6）：62-63.

[2]數學.六年級上冊.江蘇教育出版社，2014（6）：26-27.