初中幾何教學(xué)中基本圖形淺議

周偉芬

初中幾何是集邏輯思維、抽象思維和形象思維于一體的一門學(xué)科，知識(shí)涉及面廣、知識(shí)點(diǎn)多，幾何圖形往往是紛繁復(fù)雜、千變?nèi)f化的，學(xué)生在解題過(guò)程中難以抓住圖形的本質(zhì)和重點(diǎn)，找不到解決問(wèn)題的突破口導(dǎo)致無(wú)從下手，這是造成學(xué)生覺(jué)得幾何難學(xué)的主要原因. 我在平時(shí)的教學(xué)中注重滲透基本圖形的教學(xué)，讓學(xué)生記住這些基本圖形的性質(zhì)和特點(diǎn) ，就會(huì)在一些比較復(fù)雜的圖形中，辨認(rèn)出或者構(gòu)造出這些基本圖形 ，產(chǎn)生一種似曾相識(shí)的感覺(jué) ，從而輕而易舉地解決問(wèn)題. 通過(guò)基本圖形 ，就好像通過(guò)一道門戶，豁然開(kāi)朗，達(dá)到學(xué)會(huì)一例 、駕馭一批的境界.

一、基本圖形的類型

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在幾何方面的學(xué)習(xí)要求學(xué)生“能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本圖形，并能分析其中的基本元素及其關(guān)系，利用直觀來(lái)進(jìn)行思考”. ?那么什么是基本圖形呢？關(guān)于基本圖形的含義，學(xué)界并沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的界定，人們?cè)陂L(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中對(duì)基本圖形形成了一些相對(duì)穩(wěn)固的約定與共同的認(rèn)識(shí). 它主要分為以下兩類：第一類，初中平面幾何課本中的定義、公理、定理以及推論所對(duì)應(yīng)的圖形都叫作理論型基本圖形. 例如：等腰三角形、正方形、圓等，每一個(gè)幾何概念對(duì)應(yīng)著一個(gè)基本圖形. 又如：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等等，每一條定理也對(duì)應(yīng)著一個(gè)基本圖形. 這類基本圖形大致將教科書上的平面幾何知識(shí)點(diǎn)包括在內(nèi). 教師在幾何定理教學(xué)中要讓學(xué)生結(jié)合基本圖形來(lái)掌握定理，加深學(xué)生對(duì)基本圖形的認(rèn)知，幫助學(xué)生建立圖形與定理的密切聯(lián)系，訓(xùn)練、提高學(xué)生的識(shí)圖能力. 第二類，具有一定典型性的例題、習(xí)題所對(duì)應(yīng)的常用圖形叫作經(jīng)驗(yàn)型基本圖形. 此類基本圖形是在教學(xué)過(guò)程中，或是學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的，具有一定代表性的、典型的基本圖形，是一個(gè)開(kāi)放的系統(tǒng)，通常具有從經(jīng)驗(yàn)中積累的特點(diǎn). 教師在幾何教學(xué)過(guò)程中要有意識(shí)地指導(dǎo)學(xué)生熟記此類圖形所包含的幾何性質(zhì)、結(jié)論等，如“母子相似直角三角形”“角平分線加平行線會(huì)有等腰三角形”等. 每個(gè)人都可以在自己的經(jīng)驗(yàn)積累的基礎(chǔ)上進(jìn)行總結(jié)，這樣的范例式圖形越豐富，學(xué)生學(xué)起幾何來(lái)也就越容易.一般綜合性較大、學(xué)生感到困難的幾何題，究其本質(zhì)也就是一些基本圖形的疊加與組合.

二、利用基本圖形作為重要載體， 理解和記憶幾何概念

幾何概念和代數(shù)概念的顯著區(qū)別就在于幾何概念以陳述性概念為主，且它的定義必須以直觀圖形為基礎(chǔ). 所以，幾何概念教學(xué)尤其要重視概念理解與基本圖形的認(rèn)知相結(jié)合.

例如：在“三線八角”圖中識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角，是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤. 在教學(xué)時(shí)，可以借助于基本圖形，在不同位置上尋找不變的位置關(guān)系，從而很好地掌握理解同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角這三類角的概念和含義.

如圖所示，同位角應(yīng)該是在兩條直線的同側(cè)，在第三條直線的同旁，如∠ 1和∠ 5，兩個(gè)角的邊構(gòu)成“F”字形，利用提煉出的這個(gè)基本圖形可以很快地找出∠ 2和∠ 6，∠ 3和∠ 7，∠ 4和∠ 8.

內(nèi)錯(cuò)角應(yīng)該是在兩條直線的內(nèi)部，在第三條直線的兩側(cè)，如∠ 1和∠ 7，∠ 4和∠6， 兩個(gè)角的邊構(gòu)成“Z”字形.

同旁內(nèi)角應(yīng)該是在兩直線的內(nèi)部，在第三條直線同旁，如∠1和∠ 6，∠ 4和∠ 7， 兩個(gè)角的邊構(gòu)成“U”字形.

有了這些基本圖形，實(shí)現(xiàn)了圖與概念的統(tǒng)一，在復(fù)雜圖形中找出同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角就非常容易了.

三、運(yùn)用基本圖形分解復(fù)雜圖形，解決幾何難題

當(dāng)我們遇到一個(gè)較復(fù)雜的幾何題時(shí)，首先要認(rèn)真觀察、分析它的圖形. 任何一個(gè)復(fù)雜的幾何圖形都是由相關(guān)的基本圖形所構(gòu)建、整合而成的，也就是說(shuō)一個(gè)幾何題往往是多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的有機(jī)整合. 因此，對(duì)復(fù)雜圖形進(jìn)行合理分解，從中分離出基本圖形（有時(shí)需要添加輔助線，構(gòu)造基本圖形），然后運(yùn)用基本圖形的性質(zhì)去推理或計(jì)算，可以為學(xué)生尋找到解題的突破口.

例如：已知△ABC中，BE，CF是邊AC，AB邊上的高，M是BC的中點(diǎn)，N是EF的中點(diǎn). 求證：MN ⊥EF.

分析本題的圖形結(jié)構(gòu)，高、中點(diǎn)的已知條件不知如何進(jìn)行運(yùn)用，學(xué)生會(huì)感覺(jué)無(wú)從下手，但只要基本圖形熟練，不難“分割”并“重組”出一些基本圖形. 看到直角三角形和斜邊上的中點(diǎn)就會(huì)聯(lián)想到“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這個(gè)基本圖形，自然就想到通過(guò)添加輔助線“連接MF ，ME ”從而構(gòu)造出MF， ME分別為Rt△BFC和Rt△BEC斜邊上的中線的基本圖形，利用這個(gè)基本圖形的性質(zhì)很容易就得到ME = MF. 又根據(jù) ME = MF， N為EF的中點(diǎn)，又構(gòu)成等腰三角形三線合一的基本圖形，于是求證MN⊥EF的問(wèn)題就迎刃而解. 證（略）.

波利亞曾說(shuō)過(guò)：“解題的成功，要靠正確地轉(zhuǎn)化.”教師在教學(xué)中要不斷引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題回顧與反思，幫助學(xué)生梳理、提煉基本圖形，遇到問(wèn)題時(shí)分離出基本圖形，基本圖形殘缺時(shí)，構(gòu)造基本圖形，這樣可以以這些基本圖形為載體，培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力、分析推理能力. 實(shí)踐證明：它是一種非常重要的行之有效的方法. 可以說(shuō)：一張基本圖形勝似千言萬(wàn)語(yǔ)！