淺談中學數學思維的培養

黃紅玉

【摘要】現代數學教學理念認為，數學教學是數學思維過程的教學，是學生在高中數學感性認識的基礎上，運用比較、分析、綜合、歸納、演繹等思維的基本方法，能對具體的數學問題進行推論與判斷，從而獲得數學知識本質和規律的認識能力，包括應用數學工具解決各種實際問題的思考過程.它有三個方面的本質特征：①邏輯性；②抽象性；③本質屬性的準確把握.

【關鍵詞】數學思維；類型；培養

《數學課程標準》強調數學教學應從學生實際出發，創設有助于學生自主學習的問題情境，引導學生通過實踐、思考、探索、交流，獲得知識，形成技能，發展思維，學會學習，促使學生在教師指導下生動活潑地、主動地、富有個性地學習.現代數學教學理念認為，數學教學是數學思維過程的教學，學生學習數學的過程是頭腦中構建數學認知結構的過程.通過問題引導思維，多方面發展思維能力，是學好數學的關鍵，也是培養學生創新能力的重要途徑.因此，在教學中教師要特別重視學生思維能力的培養.而所謂高中學生數學思維，是指學生在對高中數學感性認識的基礎上，運用比較、分析、綜合、歸納、演繹等思維的基本方法，理解并掌握高中數學內容而且能對具體的數學問題進行推論與判斷，從而獲得對高中數學知識本質和規律的認識能力.數學思維若按性質特征劃分，則有：（1）數學類比推理思維；（2）數學形象思維；（3）數學直覺思維；（4）數學邏輯思維；（5）數學猜想思維；（6）數學分類思想.

1.類比推理是根據兩個研究對象具有某些相同的屬性，推出當一個對象尚具有另外一個屬性時，另一個對象也可能具有這一屬性的思想方法，即從對某事物的認識推到對類似事物的認識.在數學教學中，可啟發學生以知識的順延、從屬、引申、互進、相似等方面考慮和發掘類比因素.

如：德國數學家哥德巴赫運用類比的方法，對4=2+2，6=3+3，8=3+5……大量實例的考察，提出了著名的哥德巴赫猜想：“凡大于2的偶數，都可以表成兩個素數之和.”

又如：立體幾何中的臺體側面公式（*） S側=12（c+c′）h′.

通過類比，柱、錐、臺體的側面積可全部統一為（*）式，因為錐體可視c=0，柱體可視c′=c，h′=h，旋轉體可視h′為母線長，這對學生的學習十分有益.

2.數學形象思維是依靠形象材料的意識領會得到理解的思維.其中圖式想象是以數學直感為基礎，對數學圖式表象加工與改造，它的特點是以框架結構作為形象思維材料進行分析思考.例：把復數1+sinθ+icosθ1+sinθ-icosθ化為三角形式，因為1=（sinθ+icosθ）（sinθ-icosθ），因此就得簡例解法：

原式=（sinθ+icosθ）（sinθ-icosθ）+sinθ+icosθ1+sinθ-icosθ=（sinθ+icosθ）（1+sinθ-icosθ）1+sinθ-icosθ=sinθ+icosθ=cosπ2-θ+isinπ2-θ，本題使用“1”代換而得到解題的技巧.

3.數學直觀思維是對運用有關知識系統和形象直感對當前問題進行敏銳的分析、推理，并能迅速發現解決問題的方向或途徑.一般來說，類比能啟發直覺，直觀的背景材料也能激發直覺思維.

例如：在認識二次函數的圖像時，可以放出籃球比賽中姚明或林書豪投籃情景的投影，馬上激起學生的興趣.再如：在教“統計初步”時，設計以下例子：在倫敦奧運會即將舉行時，教練為了從甲乙兩名運動員中選取一人代表國家參加射擊比賽，甲乙兩人在相同條件下各射擊10次，成績如下：

甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4

乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7

怎樣比較兩人的成績高低，選誰參加比賽？教練經過科學的數據處理，選出一名運動員參加比賽，取得了較好的成績.他是怎樣計算的呢？ 學生此時思維活躍起來，對探求新知識興趣盎然，師生很順利地完成此節內容，同時也加深了學生對數學知識來源于生活又應用于生活的認識.

4.數學邏輯思維的基本形式：概念、判斷、推理和證明.數學證明是根據已確定其真實性的公理、定理、定義、公式性質等數學命題來論證某一數學命題的真實性的推理過程.它由已知、求證、證明過程三部分組成，常用的方法有分析與綜合法、反證法、窮舉法、數學歸納法.

例：如果AD與BC是異面直線，

那么AB與CD是異面直線.

證明：（反證法）

如果AB與CD不是異面直線，

那么AB與CD或平行或相交，不論是那種情形，它們都在同一個平面內，即AB與CD都在同一個平面γ內，因此BC，AD都在平面γ內，即AD，BC不是異面直線，這與已知AD，BC是異面直線相矛盾.由此，AB與CD不是異面直線不正確，這就證明了AB與CD是異面直線.

5.數學猜想思維是對數學對象進行觀察、分析、比較、類比、歸納等已有的知識作出推測性想象，它傾向于一種創造性的形象推理，而數學猜想往往隨著類比、歸納的思維過程，對于培養學生的數學能力，開展智力，發展數學思維，有著重要意義.

例 勾股定理的猜想推廣

6.數學分類思想就是根據數學對象本質屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數學思想.它既是一種重要的數學思想，又是一種重要的數學邏輯方法.分類討論思想，貫穿于整個中學數學的全部內容中.需要運用分類討論的思想解決的數學問題，就其引起分類的原因，可歸結為：①涉及的數學概念是分類定義的.例如：在學了有理數的有關概念之后對數的歸類，要注意引導選擇不同的標準進行分類.②運用的數學定理、公式或運算性質、法則是分類給出的；例如：含絕對值的問題、一元二次方程根的問題.③求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能.如動點問題.④數學問題中含有參變量，這些參變量的取值會導致不同結果的.應用分類討論，往往能使復雜的問題簡單化.分類的過程，可培養學生思考的周密性、條理性，而分類討論，又促進學生研究問題、探索規律的能力.

總之，數學學習離不開思維，高中數學的數學思維雖然并非總等于解題，但我們可以這樣講，高中學生的數學思維的形成是建立在對高中數學基本概念、定理、公式理解的基礎上的；發展高中學生數學思維最有效的方法是通過解決問題來實現.數學思維的表現要以數學結果的形式表達，數學探索需要通過思維來實現，培養思維能力，形成良好的數學思維習慣，既符合新的課程標準，也是進行數學素質教育的一個切入點.