數學教學的要義在于培養學生的數學語言能力

姜衛東

同其他學科一樣，數學學科也有其獨特的一套語言系統，它包括概念、術語、符號、式子、圖形等內容.數學語言包含文字語言、符號語言和圖形語言三大類，其中：文字語言是用文字來表達數學內容的一種語言形式，符號語言通常是用數字、字母、運算符號和關系符號等來表達數學對象和數學關系等，圖形語言是用直觀圖形來表示數量關系或空間形式.這三種數學語言本質上是一致的，它們相輔相成、各有優勢，共同書寫了整個數學知識，也為數學交流與思維提供了載體，是數學學科的基石和核心.

數學語言作為數學理論的基本構成成分，數學語言具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性、表達的精確性和應用的廣泛性等特點.數學語言的抽象性與數學學科的抽象性是一脈相承的，特別是符號語言，它是對現實世界中的各種對象及其關系與結構的抽象概括；數學以嚴密的邏輯結構作為學科骨架，違背了邏輯就違背了數學的真諦.數學中概念的外延和內涵、定理的條件與結論、分類討論、歸納演繹等數學思想，無不與邏輯思維有關，這些邏輯思維的表達，只有通過具有嚴密邏輯性的數學語言才能實現和完成；數學語言是對自然語言的精確化加工和改造，它是非常精練和精確的，有嚴格的界定和明確的含義；數學語言既是數學知識的一部分，同時也是數學知識的載體，各種數學理論無不是通過數學語言來表述的.它是人們進行數學交流與思考的工具，數學語言在數學學習中無處不在、無時不在.

數學學習的過程，就是數學語言的掌握和使用的過程；數學教學從本質上來說，也就是培養學生數學語言能力的過程.因此，數學語言能力的培養在數學教學中具有重要的作用：

首先，數學語言是學習數學知識的基礎.如前所述，數學語言本身是數學基礎理論的一部分，是學生應掌握的內容.同時數學語言又是建構其他數學知識的工具，數學中概念、定義、法則、公理和定理等無一不是通過數學語言來表述的，學生只有掌握了必要的數學語言，才能真正理解這些數學知識.

其次，數學語言是優化思維品質的工具.有什么樣的語言，就有什么樣的思維；什么樣的思維，就依賴于什么樣的語言.圖形語言有助于發展學生的形象思維能力和空間想象能力，數學語言的高度抽象性有助于發展思維的邏輯性和深刻性，數學語言的嚴密和精確有助于養成學生思維的邏輯性、周密性和批判性，數學語言的清晰與精練有助于培養學生思維的獨立性和深刻性.

另外，數學語言是提升解題能力的關鍵.數學解題的過程就是數學語言的使用過程.從正確理解題意、畫出符合題意的圖形到解題思路的選擇與形成，處處離不開數學語言，只有對各種數學語言熟練掌握，才能找到最優的解題路徑.

盡管數學語言在數學學習中有如此重要的作用，但由于數學語言是一種高度抽象的人工符號系統，因此，它常常成為教學的難點.下面，筆者結合自身的教學實踐，談談在課堂教學中如何培養學生的數學語言能力：

一、數學教學要加強對數學語言的理解

1.通過推敲關鍵詞語，加強對文字語言的教學

數學知識大都是通過文字語言來表述的，其中每一個關鍵詞語都有其嚴格而確切的含義，教師必須引導學生仔細領悟，明晰它們的內涵和外延以及相互之間的制約與依存關系.例如：“對于函數f（x），如果存在一個不為零的常數T，使得定義域內的每一個x值，都滿足f（x+T）=f（x），那么函數f（x）叫作周期函數，非零常數T叫作這個函數的周期.”周期函數的形式化定義是一個高度抽象的概念，要準確理解它，必須緊緊抓住以下關鍵詞語：“非零常數、定義域、任意x、f（x+T）=f（x）.”值得一提的是，數學中的文字語言與現實生活中的自然語言的含義有時不盡相同.例如A∪B=xx∈A或x∈B，這里“或”包含三種情況：x∈A，xB；xA，x∈B；x∈A，x∈B；而自然語言中的“或”只包含前兩種情況.

2.通過揭示符號意義，加強對符號語言的教學

符號語言是文字語言的符號化，教師在教學中要善于揭示它的意義，讓學生了解它的來龍去脈.對于符號語言的教學，一般要經歷三個層次：一是從模型到符號.教師從具體模型入手，進行合理抽象，形成簡潔的數學符號.二是從符號到符號.在抽象的基礎上，對符號語言進行理性剖析，揭示符號的深刻意義.三是從符號再到模型.也就是符號語言的具體應用.例如：對函數符號f（x）的教學，在抽象出符號f（x）后，教師應揭示它的內涵：第一 ，f（x）是以x為自變量的一個函數，符號“f”可以看作是對x施加的某種法則（運算），它可以是解析式，也可以是圖像或表格；第二，函數f（x）與函數f（t），若對應法則相同，定義域也相同，則f（x）與f（t）表示同一個函數；第三，f（x）與f（a）的差異與聯系，f（a）表示當x=a時函數f（x）的值，是一個常量，而f（x）是一個變量，f（a）是f（x）的一個特殊值.

3.通過降維和數形結合，加強對圖形語言的教學

圖形語言相比于符號語言，較為直觀.從圖形中提供的形狀、位置等信息建立數形之間的聯系，這是解決圖形問題的基本方法.當然，學生在接觸空間圖形時難于理解，不易掌握其中的位置關系，這時教師在課堂教學中應采用降維的教學方法，將三維的空間問題轉化為二維的平面問題來解決，在具體操作時，可以分幾個步驟來完成：一是由實物模型畫出它的直觀圖，二是由直觀圖還原出它的實物模型，三是要符號語言表示直觀圖中的位置關系；四是由符號語言的表示來確定直觀圖中的位置關系.

二、數學教學要加強對數學語言的表述

數學語言的表述包括口頭表述與書面表述兩種形式.對于它們的培養可以從以下幾個方面入手：第一，教師的數學語言表述要規范，要用詞準確、簡明扼要、條理清楚、前后連貫、邏輯性強等，給學生以榜樣；第二，教師在課堂教學中不能包辦代替，要給學生表述與交流的平臺，多給學生創造說與寫的機會，教師要針對學生表述中的瑕疵及時進行點評與指正，特別是在書面表述中，要解決好學生“會而不對，對而不全”的問題；第三，指導學生閱讀教材，以教材的樣板式表達給學生以模仿與示范；第四，教師在平時的教學中，還需對學生進行基本的語言范式訓練.

三、數學教學要加強對數學語言的應用

1.應用數學語言實現實際問題的“數學化”

現實中的問題本身都不是數學問題，必須經過觀察、比較、分析、綜合、抽象、聯想、推理等手段，運用必要的數學語言，建立相應的數學模型，從而將實際問題轉化為數學問題，這是一個數學化的過程.“哥尼斯堡七橋問題”就是這樣的典型案例.在平時教學中，教師也要有意識地培養學生應用數學語言解決實際問題的能力.

2.應用普通語言實現數學語言的“通俗化”

由于數學語言是一套抽象的語言系統，為了便于交流與理解，經常還需將它還原為通俗的自然語言.教學實踐也告訴我們，凡是學生能用普通語言復述概念和解釋概念所揭示的本質屬性，那么他對概念的理解就深刻.例如：如果學生能通俗地將反函數解釋為“反過來也是函數”，那么說明他對反函數的理解就非常深刻.

3.應用數學語言的“互化”提升解題能力

數學解題的過程就是將不同數學語言進行互化的過程，各種數學思想本質上也就是數學語言互化的思想.例如：數形結合思想就是將圖形語言與符號語言進行相互轉化的思想.又如：

已知集合A=（x，y）y-3x-2=1，x∈R，y∈R，B={（x，y）|y=ax+2，x∈R，y∈R}，若A∩B=，則實數a的值為.這是一道易錯題，解題的關鍵就在于將不同數學語言進行轉換，首先將集合語言向幾何語言轉化，由于y-3x-2=1y=x+1（x≠2），故集合A表示直線y=x+1上去掉點（2，3）后的兩條射線，集合B就表示直線y=ax+2上的點集； 集合運算“A∩B=”轉化為幾何語言則是“直線與兩射線無公共點”.至此，原來的集合問題就轉化為幾何問題，即“直線與兩射線無公共點”，只需它們平行或直線經過射線的端點（2，3），于是可求a=1或a=12.

培養學生的數學語言能力，有助于優化學生的數學思維，提高學生的數學素養.在數學課堂教學中，我們要加強過程教學，注重數學語言的培養和訓練，使學生既能正確理解數學的文字語言、符號語言、圖形語言并能相互轉換，又能夠條理清晰、準確流暢地表述解題過程.

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