函數之美

李迎春

【摘要】函數以變化為主線，呈現出獨特的美.筆者從一元函數的角度出發，探討由函數本身以及其延展出的極限、導數、微分、不定積分、定積分在變化的各個維度進行詮釋時所釋放出的美.本文為函數正名，為微積分的教學提供了精神上的支持.

【關鍵詞】函數；美；變化

對很多人來說，函數的概念，是晦澀難懂的.這主要是因為它把人的思維上升到了一個新的臺階.函數應屬高等教育范疇，是有別于初等函數的思維產物.作個比喻，兩個人在一起交談，對于這一現象，初等數學關注的是這兩個人的獨立個體——他們是做什么的？他們的家庭情況怎么樣？年齡、性別、身材、體型怎么樣？家里是哪里的？他們談話的內容是什么？是這些顯而易見的東西.而高等數學關注的則是他們之間的關系——為什么要在這里談？是誰促成了他們之間的談話？為什么要選擇這個話題談話？這次交談會對他們自身，還有別人產生什么樣的影響？初等數學關注的對象是看得到、摸得著的東西，高等數學研究的對象是與人們感受到的關系、影響之類的抽象東西有關.正因為如此，很多人剛接觸函數時，無法從固有的思維模式擺脫出來，對函數的學習會產生很大的抵觸情緒，會覺得函數這一概念純粹是形而上的無病呻吟，學習、研究它純粹是浪費生命、浪費資源.殊不知，函數之美是不可估量的，它所產生的能量也是無窮的.

眾所周知，（一元）函數代表的是兩個變量之間的對應關系.筆者認為，這種對應關系是從實際生活中提煉出來的.人與人之間，乃至宇宙萬物都存在這千絲萬縷的聯系，正如“生物鏈”一樣，這種聯系、關系對于我們來說都非常重要，揭示出這種關系對我們看清問題的本質、分析問題、解決問題是至關重要的.而函數作為這種至關重要的抽象的數學語言形態，它用簡潔的字母、數字、等號揭秘了那存在于工業、農業、服務業等各行各業中的讓我們苦苦尋覓的實際存在的關系，為各個學科的發展作出了重要貢獻，直接體現了數學的簡潔美.

函數之美還體現在它那完美無瑕的解析式與函數圖像的匹配.函數的解析式與圖像之間的完美結合讓我們著迷.一個解析式就對應一個獨一無二的圖像，一張圖像又對應一個獨一無二的解析式.這種特性讓我們執著去追求兩者之間的相互轉化和對應.由函數解析式運算得出的f（x）與f（-x）的關系，可以得出函數的奇偶性.而f（-x）=f（x）與f（-x）=-f（x）所對應的奇偶性可以直接表現在圖像上的對稱上來，f（-x）=f（x）與“圖像關于y軸對稱”相對應，f（-x）=-f（x）與“圖像關于原點對稱”相對應.兩者之間的契合達到的完美程度讓我們驚嘆.

而兩者之間的轉化，蹭出多少火花來，又生出多少驚天動地的大事件來.極限作為函數研究的一個產物，如果僅從那晦澀的定義出發，是沒有辦法深深抓住人們的心的，微積分的研究和運算，對數學家和數學教師來說也沒可能是順暢的.因為那嚴格的證明就已經讓人望而卻步.幸而有圖像的存在.因為有圖像，人們能夠感受到極限的存在.人們相信，那個唯一確定的極限值是存在的，人們更能夠輕松找出那個極限值.譬如對于y=arctanx，當x無限增加時，我們從那關于原點對稱的圖像上，可以清晰地看出圖像的走勢.極限的美妙在于，我們從圖像觀察出來的和我們嚴格用文字、符號證明出來的完全一致.數學的嚴謹性由此可見一斑.

函數實質上是變量與變量之間的一種對應關系，依靠這種關系，它又生出多少美妙的子孫，這些子孫因自己獨特的能力為人類解決了許多實際問題.對函數發展趨勢的研究，使人們得出了極限的概念.極限以其身體的敏捷、輕盈和魅力無窮，把人們的思維、視野又引向了一個更加廣闊的天地.從靜態向動態的轉變，是函數的一大突破，極限穿越了時空，把人類研究的視角轉變過來.人們早已關注到變化的存在，早已想伸進變化去進行研究，但是長時間以來，一直無從下手.函數是以簡潔的裝扮和豐富的內涵，把人們帶進了變化的領域，凡是不喜歡變化，害怕變化的人，都沒辦法接受函數，而把函數看作是一個怪物，函數本身蘊含的多種可能性，為研究變化提供了沃土.極限是個很好的產物，極限同時又成為研究變化的一個非常重要的工具.導數、定積分這些概念都是極限的子孫，這些子孫又成為人類研究世界、解決變化難題的工具.這些完全都基于極限的美輪美奐.極限與“無限接近”這種似乎具有數學特色的詞語聯系在一起，更具有了神秘性.就像人和人之間的關系，雖然看不見，但卻實際存在一樣.極限也是一種不能看到，但卻能實際掌握的一種東西.極限之美，是一種中庸之道的美.極限滲透著人生的哲理，為人們抓住變化提供了一個非常重要的工具.以函數為研究對象的微積分就是以極限為工具進行研究的.

事物的變化總有一定的品質，譬如它的穩定性、它的變化率等.導數正是反映了事物變化的速率問題.y隨x變化而變化的瞬時變化率，即是導數，它的產生源于實際問題，應用于實際問題，卻又高于實際問題.初等數學只能研究勻速問題，而對變速問題的精確研究，還必須依靠高等數學的導數.沒有試圖包囊一切，只想要完美的契合.那種精神，只有數學才有.而在導數概念的研究過程中，數形結合、以形推動數的理解的貫徹更是徹底.導數的幾何意義讓人更加篤信這一點.增量Δx的給出，使得自變量x從x0變到x0+Δx，自變量的變化導致因變量y從f（x0）變到f（x0+Δx），因變量的增量Δy應運而生.對應的圖像上面的點從M0變化到M.當|Δx|逐漸變小時，變化緊隨其后.Δx、Δy逐漸發生變化.M點逐漸向M0點滑動，直線MM0的傾斜角逐漸減小（假設傾斜角為銳角時）.這一切的一切，最終促成了作為數的ΔyΔx與作為形的直線MM0斜率的契合，而這一契合最終有了perfect ending，極限的介入使得變化最終定格于那一條確定直線，即割線的極限位置切線的斜率.無法言喻的美，值得我們喝彩的美，函數締造的變化的王國在此得到了精彩的體現.變即是不變，不變即是變——對于函數來說，這恐怕是其意義最好的詮釋了.

復合函數作為函數中最具特色的存在，對它的形式的剖析，對于其求導有著與生俱來的本事.復合函數可以比作是由層層疊疊包裹起來的洋蔥，要想看透它，必須剝掉一層，再剝一層，直到不能再剝為止.每一層函數都是基本初等函數或簡單函數.復合函數的求導法則嚴格契合復合函數的層疊特征，由內而外，層層求導，每求一層導，就像給里面點亮了一盞燈，逐漸呈現在我們面前，層層推進，直到看到真正的光明（指導數）.這種過程就是我們人生的生活成長的過程.人活著其實也不過如此.

微分的概念更是奇妙，微分的概念來源于實際問題中對函數改變量的近似計算，但它卻與函數的導數有著不解之緣.微分公式dy=AΔx中那個不依賴于Δx的常數A最后竟是一個導數值.當dy=AΔx最后歸結為dy=f′（x）Δx，并得出dydx=f′（x）時，這種契合就更加絕妙了.

洛必達法則作為導數應用的一個重要方面，把導數與其源頭極限聯系起來，來源于極限，最后又用于極限，這從根本上符合了研究工作的精髓.

變化中求生存，這是微積分的根本.變速直線運動瞬時變化率的求解最終在導數那里找到了答案；而逆向思維形成了另一問題：變速直線運動的路程，又促成了定積分概念的形成.數學分析的基本方法，從量的方面研究事物運動變化，在這里得到集中體現.定積分的求法又促成了不定積分概念的形成.牛頓—萊布尼茨公式的誕生使得原函數成了求解定積分的關鍵.而已知導數或微分求原函數，正是微分學的逆問題.逆向思維實質上是人類思維的飛躍.思維飛躍的結果使數學歷史上出現了很多奇跡.求導公式反轉為基本積分表，復合函數的求導法則變身為湊微分法，函數乘積的微分公式變身為分部積分法.變身促成了函數史上的大革命，微分變積分，微分積分自此不分家.思維的飛躍同時成就了實際問題的解決.

函數的癡在于變，變中求生存，人類的生存又怎知不是如此？因為變，函數凸顯出極具生命力的美.