對圓錐曲線第二定義的再探究

暨新明

在平面直角坐標系中，點P（x，y）為動點，已知點A2，0，B-2，0，直線PA與PB的斜率之積為-12.

（1）求動點P的軌跡E的方程；

（2）過點F（1，0）的直線l交曲線E于M，N兩點，設點N關于x軸的對稱點為Q（M，Q不重合），求證：直線MQ過x軸上一定點.

答案：（1）x22+y2=1；（2）通過證明得到定點為2，0.

我們發現第（2）問中，求出的定點2，0為橢圓x22+y2=1的準線x=2與x軸的交點.

對于一般的圓、橢圓、雙曲線、拋物線是否有類似結論？是否需要滿足什么特殊的條件？能否抽象概括出圓錐曲線的一個通性呢？如果是這樣的話，則問題就有了研究的價值.為了增加問題研究的可行性，避免勞而無功，筆者先用幾何畫板對拋物線、橢圓、雙曲線分別進行驗證，其結果都是成立的.筆者在問題的驅動下馬上拿出筆和草稿紙進行運算推理，最終證明上述猜想是正確的，現將主要結論和證明整理成文與大家分享.

推廣1：已知圓x2+y2=R2R>0，過圓內點A（m，0）任作一直線l交橢圓于M，N兩點，設點N關于x軸的對稱點為Q（M，Q不重合），則直線MQ過x軸上一定點R2m，0.

證明：與橢圓的證明一致，見橢圓證明.