幾個典型問題的復數表示

程曉亮　車明剛

復平面上的點與復數一一對應，從而，復數為中學平面幾何的證明提供了新的視覺，即平面幾何中的問題都能用復數方法加以證明.在平面幾何問題的證明中恰當穿插復數方法能夠化復雜為簡單，使問題的解決更加方便.下面給出三點共線和四點共圓的復數表示，直觀地說明托勒密定理.

1.三點共線問題

給定復平面上互不相同的三點z1，z2，z3，試確定它們共線的充分必要條件.

解顯然互不相同的三點z1，z2，z3共線的充分必要條件是向量z1z3和z2z3同向或者反向共線，所以它們的幅角相差π的整數倍.即這樣就得到了托勒密定理.

托勒密定理是平面幾何中基本的定理，從它出發可以推出正、余弦的和差公式及一系列三角恒等式……順便指出，復平面上圓的一般方程可以表示為

azz-+bz-+b-z+c=0，

其中a，c為實數，a≠0，b為復數，并且|b|2-ac>0.

標準方程（z-a）（z-a）=r，其中復數a為圓心所在的點，實數r為圓的半徑.利用這兩個方程對于求解某些與圓相關的問題也會收到意想不到的效果.