Taylor公式與Newton插值的一個注記

龔佃選　彭亞綿

【摘要】結(jié)合線性代數(shù)中線性空間的基本理論，利用簡單的數(shù)學(xué)方法和手段，給出了Taylor公式和Newton插值法之間的一個聯(lián)系.得到Taylor公式可以看作是Newton插值法的極限形式，待定系數(shù)法得到的一般插值法也恰好支持了上述觀點.

【關(guān)鍵詞】Taylor公式；Newton插值；過渡矩陣；思想方法

【中圖分類號】G642.0【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【基金項目】“數(shù)值計算方法”國家級精品資源共享課建設(shè)項目，中國自然科學(xué)基金項目（61170317， 11301120），河北省自然科學(xué)基金項目（A2013209295）.

1.引言

隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，現(xiàn)代數(shù)學(xué)得到廣泛應(yīng)用，越來越多的新的先進(jìn)的理論和方法不斷涌現(xiàn).教育的內(nèi)涵和方法也應(yīng)該與時俱進(jìn).李大潛院士指出“數(shù)學(xué)的教學(xué)，不僅要使學(xué)生學(xué)到許多重要的數(shù)學(xué)概念、方法和結(jié)論，而且應(yīng)該在傳授數(shù)學(xué)知識的同時，使他們學(xué)會數(shù)學(xué)的思想方法，領(lǐng)會數(shù)學(xué)的精神實質(zhì)，知道數(shù)學(xué)的來龍去脈，在數(shù)學(xué)文化的熏陶中茁壯成長”.事實上，豐富的數(shù)學(xué)理論和方法背后的數(shù)學(xué)思想方法是樸素的、有限的.本文以Taylor公式和Newton插值為例，結(jié)合線性空間理論用最基本的數(shù)學(xué)方法和手段得到它們之間的聯(lián)系.

2.相關(guān)概念

設(shè)對于正整數(shù)n，函數(shù)y=f（x）在包含x*的某個閉區(qū)間[a，b]上n階連續(xù)可導(dǎo)，且在（a，b）上n+1階可導(dǎo)，則有如下Taylor公式成立：

此時得到的是Taylor展開的特殊情況叫麥克勞林公式.這個跟用待定系數(shù)法得到的一般插值多項式是一致的.而事實上此時的過渡矩陣A恰好就是由Newton基函數(shù)組到常用基函數(shù)組1，x，x2，…，xn的過渡矩陣.

4.總結(jié)

本文以線性代數(shù)理論觀點解釋Newton插值法與Taylor展開之間的一個關(guān)系.一方面幫助學(xué)生多角度理解和認(rèn)識這兩個概念，同時啟發(fā)同學(xué)們?nèi)ネ诰虼祟惵?lián)系進(jìn)而重新認(rèn)識已經(jīng)學(xué)過和掌握的知識；另一方面，可以幫助教師提高教學(xué)質(zhì)量和學(xué)習(xí)效率.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李慶揚(yáng).數(shù)值分析（第五版）[M].北京： 清華大學(xué)出版社，2008.

[2]徐利治.關(guān)于高等數(shù)學(xué)教育與教學(xué)改革的看法及建議.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2000，9（2）： 1-2.

[3]莊瓦金.跨世紀(jì)高等代數(shù)教材改革的思考與實踐.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2001，10（2），80-83.

[4]龔佃選，彭亞綿，鄭石秋.數(shù)值分析課程教學(xué)改革的實踐與設(shè)想[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（19）： 52-54.