淺談如何求解數學（職高）應用題

王有曹

【摘要】提高職高數學教學質量，不僅僅是為了提高職高學生的數學成績，更重要的是能使學生學到有用的數學，并利用數學知識來解決實際問題.為此我認為在職高數學教學中，如何讓學生懂得：怎樣解決數學應用問題是一個非常重要的課題，本文結合自己的教學體會，從理論上及實踐上闡述：如何來求解數學應用題？我認為職高數學應用題教學的關鍵在于現實問題“數學化”的過程，而教學的核心則在于現實問題“模型化”的過程，其一般策略包括審題、建模、求解、驗證和回答五個基本環節.在高中數學應用題的教學過程中，教師必須克服學生的畏難情緒，樹立學生頑強的探索精神和求知欲望.

【關鍵詞】審題；建模；求解；驗證；回答

1.審題：即在讀題的過程中，教師引導學生提煉出已知、未知，并盡可能尋找出已知與未知的內在關系，將題目給定的信息經過分析、綜合后，讓學生嘗試自己復述，學生在不經意中能把現實問題“數學化”.我們知道大多數職高學生理解能力、運算能力、思維能力等方面問題參差不齊，缺乏學習主動性和科學的學習方法，不善于發現問題，概括、轉化、分析、歸納等能力比較欠缺.學生對數學學習存在一定的畏懼心理，尤其對應用題.針對這種情況，在教學中必須要求每一名學生都樹立起學習的信心，提高心理承受能力，保持冷靜，認真對待，不能隨意放棄，每次測試都盡可能地考查一道與復習內容緊密相關的應用題，以便幫助學生消除心理障礙.通過“審題”可以大致地知道用哪些已學過的數學知識解決問題，解題有了一個比較明確的方向，這一過程也是培養學生“數學”地思考問題的最關鍵環節，也是數學生活化的直接體現.2010年11月我有幸參加了寧波市教研室組織的職高青年教師數學問題解決與例題講解比賽，比賽的第二輪就是例題講解.這例題是：我國是一個缺水的國家，很多城市的生活用水遠遠低于世界的平均水平.為了加強公民的節水意識，某城市制定了每戶每月用水收費（含用水水費和污水處理費）標準：

① 試寫出每戶每月用水量x（ m）與應交水費y（元）之間的函數解析式；

② 如果一個用戶一個月用了20 m3水，則應交水費為多少？

對于這例題我首先讓學生讀懂應交水費與水量的關系，關鍵是讓學生知道水的價格是以用水量的不同而不同.加強學生了學生的節水意識，使學生感到數學的實用性.

2.建模：將已“數學化”了的實際問題，通過教師啟發誘導，使學生運用已學過的數學知識，將文字敘述的現實問題轉化成用數學符號表示的式子，同時必須要求學生聯系實際，確定變量的取值范圍，為后面的回答問題奠定基礎，這一過程稱為“建模”.審題是為了理解題意，建模就是將文字語言、符號語言、圖表語言轉化成數學語言.一道題目可能有較多的建模思路，應讓學生選擇自己最熟悉或運算過程少、技巧性不太強的數學模型來解答題目，一般來說，可采用下列策略幫助學生建立數學模型：（1）雙向推理列式，利用已知條件順向推理，運用所求結果進行逆向搜索；（2）借助常用模型直接列式，平均增長率的問題可建立指、對數或方程模型，行程、工程、濃度問題可以建立方程（組）或不等式模型，拱橋、炮彈發射、衛星制造問題可建立二次模型，測量問題可建立解三角形模型，計數問題可建立排列組合模型，機會大小問題可建立概率模型，優化問題可建立線性規劃模型……水費這例題可以得到函數的表達式如下圖：

這個就是水費水量的函數關系.

3.求解：求解就是對已經“模型化”了的純數學問題得到結果的過程，也就是純數學問題“結果化”的過程.這一過程學生較為熟悉，但重要的是要提高學生運用運算技巧和應數學思想方法的能力，培養學生頑強的求知精神.在平時的教學過程中，教師應努力讓學生做到以下幾點：

（1）思想上重視計算.許多學生只注重列式不注重運算，對復雜的算式缺乏信心，對簡單的算式粗心馬虎.原因在于思想不重視，平時沒有養成良好的運算習慣.為此，我平時要加強這方面的教育，讓學生知道運算失誤所造成的對學習成績的消極影響.

（2）算法要精心研究.運算過程中使用的概念、公式和法則要準確無誤，這是保證運算準確的基本條件.因此，平時的作業、練習、測驗等都必須要求學生認真檢查、總結、訂正，提高運算的正確率.另外還需要學生運算要熟練且合乎算理，運算過程中的每一步都要有理有據，或根據概念，或根據公式，或根據法則，要養成思維嚴謹的好習慣.如上述水費問題2：就要求學生理解分段函數的實在意義，要求學生理解當水量在某一個范圍值時，應該使用哪一個表達式，如問題2：一個用戶一個月用了20 m3水，則應交水費為多少？那就可以利用分段函數求解，當x=20時，Y=1.6×10+2.8（20-10）=44（元）.

4.驗證：純數學下的結果并不一定符合客觀現實，如現實中往往要取整、取最值等等，這是純數學與應用數學最不一致的地方，也是數學“生活化”的直接體現.如在首項為-16，公差為12的等差數列{an}中，當n是多少時，前n項和sn最少？最小值是多少？根據等差數列的通項公式，我們可以算出當n≤6812時，前n項和最小，但這不符合實際，因為項數不可能是小數，所以答案應該是當n=5時，前5項和最小，最小為-160.

5.回答：高中數學應用題一般不同于小學的應用題有明確的最后一個問句，因而高中數學應用題的回答要學生根據題意用簡練、明確的語言概括出來，給出一個清楚的結論.如關于上述水費的問題2就可以這樣回答：當用水量是20 m3，其應交的水費是44元.

要切實讓學生掌握如何解決應用題，我想要做好以下幾點：1.排除學生解應用問題的心理障礙.2.做好知識歸納與拓展.3.加強閱讀理解能力和分析建模能力的培養.4.加強解應用題方向和目標意識的培養.要真正培養學生的創新和應用能力，光憑傳授知識是遠遠不夠的，重要的是在教學中必須堅持以學生為主體，不能脫離學生搞一些不切實際的建模教學，我們的一切教學活動必須以調動學生的主觀能動性，培養學生的創新思維為出發點，引導學生自主活動，自覺的在學習過程中構建數學建模意識，只有這樣才能使學生分析和解決問題的能力得到長足的進步，也只有這樣才能真正提高學生的創新能力和應用能力，使學生真正學到有用的數學.我們相信，在開展“目標教學”的同時，大力滲透“建模教學”必將為中學數學課堂教學改革提供一條新路，也必將為培養更多更好的“創造型”人才提供一個全新的舞臺.

【參考文獻】

[1]黃立俊，方水清.增強應用意識，增強建模能力.中學數學雜志，1998（5）.

[2]薛治剛.高中數學應用問題.吉林科學技術出版社，北京朗曼教學與研究中心，1998.