從問題中發現規律在求解中探究結論

譚玉寶

教育家蘇霍姆林斯基說過：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發現者、探索者.”這就是說，在教學過程中，教師應適當創設一些情境，讓學生自己去發現和探究，自己發現某些概念、某些規律，探究某些結論，這樣可以使學生對概念的理解更深刻，知識的掌握更牢固，學生能從中體驗到成功的感覺，從而激發學習的積極性.下面是筆者在“導數應用”這一節的教學實踐中，引導學生發現和探究雙曲線切線幾個性質的過程.

1.創設情境，發現規律

例求過點P（2，0），曲線y=1x的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積.

解設切點為Q（x0，y0）（x0≠0），則切線的斜率k=kPQ=1x0（x0-2），又由導數的幾何意義，曲線在切點Q（x0，y0）處的切線的斜率k=y′|x=x0=-1x20，于是有1x0（x0-2）=-1x20，∴x0=1，k=-1.

∴過點P的切線l的方程為：y=-x+2，它與兩坐標軸分別交于P（2，0）和B（0，2）.

故切線與坐標軸圍成三角形的面積為S=2.

設計意圖：讓學生明確導數的幾何意義，掌握過一點的曲線的切線的求法，并在此基礎上提出變式1，讓學生從中發現問題，展開從特殊雙曲線到一般雙曲線的切線的探究.

變式1：求過點P（t，0）（t≠0），曲線C：y=1x的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積.

仿照上面的方法，同學們迅速得到切點Qt2，2t，切線斜率k=-4t2，切線方程：y=-4t2（x-t），切線分別交坐標軸于P（t，0），B0，4t，切線與坐標軸圍成三角形的面積S=12t4t=2.

2.以靜制動，提示規律

變式2：求曲線D：y=mx（m≠0）在P（x0，y0）處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積.

生：曲線y=mx（m≠0）在P（x0，y0）處的切線方程為y0x+x0y-2m=0，與坐標軸交點分別為2my0，0，0，2mx0，于是切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積S=122my0·2mx0=2m.

師：雙曲線D的任何一條切線與兩坐標軸圍成的三角形面積也是一個常數，這個常數是不是生2同學所說的實半軸長的平方？

生4：當m>0時，求得雙曲線y=mx（m≠0）與對稱軸y=x的交點（即頂點），從而求得實軸長為2a=22m；當m<0時，求得雙曲線y=mx（m≠0）與對稱軸y=-x的交點（即頂點），從而求得實軸長為2a=2-2m.于是可知，上面的常數為實半軸長的平方.

師：曲線D是等軸雙曲線，兩坐標軸是它的漸近線.上面的探索即為：“等軸雙曲線上任意一點的切線與兩漸近線圍成的三角形面積等于實半軸長的平方.”那么，對更一般的雙曲線，你能作出什么樣的猜想？

3.合理猜想，證明猜想

生5：雙曲線上任意一點P處的切線與兩條漸近線圍成三角形的面積等于實半軸長與虛半軸長之積.

4.反思總結，拓展提升

通過上面的探索，我們得到雙曲線切線的一個性質：

性質：雙曲線上任意一點P處的切線與兩條漸近線圍成三角形的面積等于實半軸長與虛半軸長之積.

同時，從性質1的探求過程中還得到了一個“副產品”，即雙曲線x2a2-y2b2=1，（a>0，b>0）上任意一點P（x0，y0）處的切線方程①.那么，雙曲線的動切線還有沒有其他性質呢？留著大家去探究.