例談數(shù)學(xué)教學(xué)中的創(chuàng)新型問題

吳明帥

【摘要】每年數(shù)學(xué)高考中很多試題具備了一定的新穎性，或是背景新穎，或是題干新穎，或是包裝新穎，或是問法新穎等，這些略帶有一定創(chuàng)新的試題往往是數(shù)學(xué)試題中的亮點(diǎn)，如何解決這些帶有亮點(diǎn)的試題？這是復(fù)習(xí)教學(xué)中值得教師關(guān)注的一個(gè)教學(xué)點(diǎn)，本文通過具體實(shí)例例談這些創(chuàng)新問題，對(duì)其進(jìn)行了歸類和小結(jié).

【關(guān)鍵詞】復(fù)習(xí)教學(xué)；數(shù)學(xué)；高三；創(chuàng)新；試題；新穎性

高考試卷每年力主在穩(wěn)定的基礎(chǔ)上推陳出新，試題不斷在進(jìn)行創(chuàng)新.大量研究表明，學(xué)生往往在各種應(yīng)試中面對(duì)陌生的問題或新穎的問題時(shí)失分率較高，提議教師在復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)以專題課的形式對(duì)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新型問題的授課教學(xué)，以提升學(xué)生從陌生問題背景中提取信息的能力和反應(yīng).

從復(fù)習(xí)教學(xué)來看，近年來專門針對(duì)創(chuàng)新型問題的復(fù)習(xí)教學(xué)比較少，高考試題中的一些新穎的問題往往受教師關(guān)注，筆者對(duì)其進(jìn)行了一些歸類，與大家在教學(xué)中共享.

1.新型定義型試題

新型定義型的試題往往受到高考試卷的青睞，因其背景新穎，具有時(shí)代感，對(duì)陳舊問題進(jìn)行了包裝，使得形式化數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)得到了合適的隱藏，其主旨要求學(xué)生在應(yīng)試有限的時(shí)間內(nèi)對(duì)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)進(jìn)行挖掘，理解數(shù)學(xué)問題給出的新定義，進(jìn)而在適當(dāng)?shù)谋尘跋陆鉀Q問題的一種新型題型.這類數(shù)學(xué)試題廣受高考試卷的青睞，在各地高考試卷中層出不窮，其考查了學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用的能力、知識(shí)遷移的能力都比較明顯，是學(xué)生層次的區(qū)分上顯得尤為明顯的一種題型.

例1記maxx1，x2，…，xn表示為實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn中的最大數(shù)，最小數(shù)用minx1，x2，…，xn.現(xiàn)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c（a≤b≤c），給出傾斜度定義：l=maxab，bc，ca·minab，bc，ca，則“l(fā)=1”是“△ABC為等邊三角形”的條件.（填寫充分、必要相關(guān)條件）

解析若△ABC為等邊三角形時(shí)，即a=b=c，則maxab，bc，ca=1=minab，bc，ca，則l=1；若△ABC為等腰三角形，如a=b=2，c=3時(shí)，則maxab，bc，ca=32，minab，bc，ca=23，此時(shí)l=1仍成立，但△ABC不為等邊三角形，所以應(yīng)該是必要不充分條件.

評(píng)析對(duì)新型定義型問題的理解，本題首先是理解題中給出的概念“傾斜度”！從給出的定義來看，傾斜度其實(shí)是數(shù)據(jù)最值之間的乘積，學(xué)生對(duì)表達(dá)式maxx1，x2，…，xn、minx1，x2，…，xn的理解也非常關(guān)鍵，這是一種數(shù)學(xué)定義符號(hào)，只有在理解數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的基礎(chǔ)上，才能進(jìn)一步理解傾斜度，這類數(shù)學(xué)問題難度一般，但是因其有稍顯抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)和新定義，在學(xué)生區(qū)分度上達(dá)到了一定的效果，教師教學(xué)中要指導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)審題，提高分析問題和解決問題的能力.

2.能力探究型試題

能力探究型試題往往較第一種類型的問題稍難，這里的數(shù)學(xué)問題在表述上基本通俗易懂、言簡(jiǎn)意賅，但是命題組在對(duì)問題進(jìn)行適度改編、開發(fā)的基礎(chǔ)上，注重了區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一些考查，使得這些問題 往往將大部分學(xué)生區(qū)分開來，其既尊崇知識(shí)來源于教材的特點(diǎn)，又符合學(xué)生能力層次的區(qū)分，體現(xiàn)考查的區(qū)分度.教師教學(xué)時(shí)建議從細(xì)微處入手，對(duì)問題進(jìn)行多面化的分析，將能力型問題進(jìn)行多角度、多元化的分析指導(dǎo)是關(guān)鍵.

例2定義在區(qū)間0，π[]2上的函數(shù)y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作PP1⊥x軸于點(diǎn)P1，直線PP1與y=sinx的圖像交于點(diǎn)P2，則線段P1P2的長(zhǎng)為.

解析線段P1P2的長(zhǎng)即為sinx的值，且其中的x滿足6cosx=5tanx，解得sinx=23，線段P1P2的長(zhǎng)為23.

評(píng)析此題考查三角函數(shù)的圖像、數(shù)形結(jié)合思想，否則，費(fèi)時(shí)費(fèi)力.此題考生若不從圖形下手，有種茫然的感覺，問題的關(guān)鍵是線段P1P2的長(zhǎng)即為sinx的值.從此題可以看出，考查學(xué)生運(yùn)用已知知識(shí)探究問題的能力.

3.類比推理型試題

類比推理型問題近年受到某些省份的重視，這是考查學(xué)生推理能力的一種問題，試卷中對(duì)推理的考查往往以類比推理為主，注重學(xué)生從特殊到一般的能力的考查區(qū)分，體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用、歸納演繹能力，獲得新發(fā)現(xiàn)新規(guī)律的區(qū)分度，教師授課時(shí)注重對(duì)學(xué)生問題規(guī)律的引導(dǎo)和發(fā)現(xiàn)是關(guān)鍵.

例3設(shè)n≥2，n∈N，2x+12n-3x+13n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，將ak（0≤k≤n）的最小值記為Tn，則T2=0，T3=123-133，T4=0，T5=125-135，…，Tn，…，其中Tn=.

解析近年各地高考卷都有此類合情推理試題，考生一般都能答正確，屬于容易題.

答案Tn=0，n偶，12n-13n，n奇.

評(píng)析本題主要考查了合情推理，利用歸納和類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，這是一種需類比推理方法破解的問題，解答本例的關(guān)鍵，是要從一些特殊的式子中尋找系數(shù)規(guī)律，從不變中找變化和規(guī)律進(jìn)行類比、歸納、推理.當(dāng)然，作為教師我們更應(yīng)該從二項(xiàng)式角度分析其系數(shù)規(guī)律化的成因.

總之，高考復(fù)習(xí)教學(xué)中對(duì)創(chuàng)新型問題的積累需要教師不斷地總結(jié)，將這些問題以專題的形式在課堂教學(xué)中給予學(xué)生呈現(xiàn)，使其在應(yīng)試中以較為輕松的心態(tài)應(yīng)對(duì)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的一種成效.限于才疏學(xué)淺，懇請(qǐng)讀者對(duì)創(chuàng)新型問題予以補(bǔ)充.