案例分析在常微分方程教學中的應用

吳楚芬

【摘要】“常微分方程”作為一門實踐性很強的基礎課程，案例教學能提高學生對基本原理的理解，調動學生學習的主觀能動性.在本文中，我們以一階線性微分方程講授過程中引入的案例“范·梅格倫偽造名畫案”為例，探討了案例教學的實施步驟.案例教學的實施，進一步培養學生理論聯系實際，分析問題和解決問題的能力.

【關鍵詞】常微分方程；案例分析

【中圖分類號】O175.1；G642.0；G642.1【文獻標識碼】C

【基金項目】佛山科學技術學院教研項目“理論與建模相結合的‘常微分方程實踐教學”

案例的選取并非隨心所欲，而應與教學大綱、教學內容同步，起到畫龍點睛的效果.

案例教學需要全新的教學技巧和實驗教具的輔助支持，在日常教學過程中主要體現在使用多媒體設備進行教學，這樣才能使教學更加形象生動，激發學生的興趣.否則，案例講解就只能停留在建模思路和數學模型的分析上，卻無法對具體模型作進一步深入直觀的動態趨勢分析，不能給出具有現實意義的詮釋.下面我們將通過一階線性微分方程講授過程中引入的案例案例“范·梅格倫（Vanmeegren）偽造名畫案”為例，闡明案例教學的實施過程.

范·梅格倫（Vanmeegren）偽造名畫案

問題提出：第二次世界大戰比利時解放后，荷蘭保安機關開始搜捕納粹分子的合作者，發現一名三流畫家范·梅格倫曾將17世紀荷蘭著名畫家Jan Vermeer的一批名貴油畫盜賣給德寇，于1945年5月29日以通敵罪逮捕了此人.范·梅格倫被捕后宣稱所有的油畫都是自己偽造的，為了證實這一切，在獄中開始偽造Vermeer的畫《耶穌在學者中間》.當他的工作快完成時，又獲悉他可能以偽造罪被判刑，于是拒絕將畫老化，以免留下罪證.為了審理這一案件，法庭組織了一個由化學家、物理學家、藝術史學家等參加的國際專門小組，采用了當時最先進的科學方法，動用了X光線透視等，對顏料成分進行分析，終于在幾幅畫中發現了現代物質諸如現代顏料鈷藍的痕跡.這樣，偽造罪成立，但是，許多人還是不相信其余的名畫是偽造的，因為范·梅格倫在獄中作的畫實在是質量太差，所找理由都不能使懷疑者滿意.下面利用微分方程理論分析范·梅格倫出賣給德國納粹分子的油畫中是否全部是他自己偽造的.

分析問題：注意到，物質的放射性正比于現存物質的原子數.

白鉛是油畫中的顏料之一，白鉛中含有少量的鉛（Pb210）和更少量的鐳（Ra226）.白鉛是由鉛金屬產生的，而鉛金屬是經過熔煉從鉛礦中提取出來的.當白鉛從處于放射性平衡狀態的礦中提取出來時，Pb210的絕大多數來源被切斷，因而要迅速蛻變，直到Pb210與少量的鐳再度處于放射平衡，這時Pb210的蛻變正好等于鐳蛻變所補足的為止.

基本假設：

（1）鐳的半衰期為1600年，我們只對17 世紀的油畫感興趣，時經三百多年，白鉛中鐳至少還有原量的90%以上，所以每克白鉛中每分鐘鐳的衰變數可視為常數，用r表示.

（2）釙的半衰期為138天容易測定，鉛210的半衰期為22年，對要鑒別的三百多年的顏料來說，每克白鉛中每分鐘釙的衰變數與鉛210的衰變數可視為相等.

解決問題：

設t時刻每克白鉛中含鉛210的數量為y（t），y0為制造時刻t0每克白鉛中含鉛210的數量.α為鉛210的衰變常數，則油畫中鉛210含量y（t）滿足如下的一階微分方程初值問題：

其中α，y（t），r均可測出.故可算出白鉛中鉛的衰變率αy0，再與當時的礦物比較，以鑒別真偽.礦石中鈾的最大含量可能 2%～3%，若白鉛中鉛210每分鐘衰變超過30000個原子，則礦石中含鈾量超過 4%.

測定結果與分析：

由于鉛210每分鐘每克衰變不合理，故為贗品.

同理可檢驗第二、三、四幅畫亦為贗品，而后兩幅畫為真品.

在常微分方程的教學過程中，堅持引入案例分析，由“案例引方法” 再“ 用方法做案例”，以學生為主體，教師起誘導作用，有效地激發了學生去快樂學習、主動學習和創新性學習，同時也培養了學生分析問題和解決問題的素養.