高中生數學抽象概括能力培養的途徑與策略

張永明

【摘要】數學學科自身的特點決定了抽象概括能力的重要性，通過對高中數學學習過程的分析，總結了高中生數學抽象概括能力的培養途徑與策略.

【關鍵詞】新課程；數學抽象能力；數學概括能力

數學學科自身的特點決定了抽象概括能力的重要性，數學學習要求學生抓住問題的特征，自覺地排除一些非本質因素的干擾，由此及彼、由表及里地進行分析和綜合，能夠善于發現問題中條件的細微變化，抓住問題的關鍵點和切入點，從而進行解題嘗試和解題突破.因此說培養學生的抽象概括能力，是數學教學中的疑難問題.

在數學教學中，由于數學的抽象性，經常導致學生理解上的偏差，因此，教師在教學中要引導學生進行抽象概括，培養學生的概括能力，學會把本質的和非本質的東西加以區分，把具體問題抽象為數學問題，進而提高學生的解題能力.

一、在歸納課本知識的過程中，培養學生的抽象概括能力

教師在教授完每一節課的內容后，要根據學生的反應和內容的特點，對課本知識進行歸納.這種歸納不是對知識簡單的小結，而是一種高于課本知識的概括.經過這樣概括的知識便于學生記憶和理解.

比如，用比較法證明不等式時，有時作差比較，有時作商比較，這種方法也常用在抽象函數的單調性證明中，但學生一時很難接受及分辨清楚，為了突破這一難點，教師可把比較法的兩種思路講授完后，對其進行推廣，同時總結規律：

①如函數f（x+y）=f（x）·f（y）中，當x>0，f（x）<0時，這種形式常常采取作差比較，且與0比較大小；

②如函數f（xy）=f（x）+f（y）中，當x>1，f（x）<0時，這種形式常常采取作商比較，且與1比較大小.經過這樣的概括，學生對抽象函數的兩種形式能基本掌握，并且能很好地運用它們.這種對相應知識的歸納，概括能力不僅是學習的需要，在今后的生活和工作實踐中也是非常重要的，教師要在教學中逐步培養學生的這種歸納和概括的能力.

二、在數學概念和公式的教學過程中，培養學生的概括能力

教師在精心設計數學概念的過程中，讓學生經歷由具體到抽象的過程，培養學生形成數學概念的概括能力.

如教學“棱柱”的概念時，一般有如下幾個步驟：（1）教師舉出常見的一些物體，如三棱鏡、書本、磚塊、螺絲帽等，讓學生尋找這些物體的共同屬性.（2）通過抽象，提出物體本質屬性的各種猜想和疑問，運用轉化、舉反例等方法對題設進行證明和推斷，肯定或否定某些共同屬性以確認其本質屬性.（3）讓學生舉出實例，將上述本質屬性類比推廣到同類事物，概括形成棱柱的概念，并用定義表示.在這個過程中，可將零散、雜亂的知識系統化、條理化，概括成帶有規律性的結論，以促進學生概括能力的提高.

三、通過類比和聯想，培養學生的抽象概括能力

我們知道，由于數學知識的完整性和嚴密性，許多數學結論和方法都具有相關性和相似性，在課堂教學中只有充分利用這些相關性和相似性，采用類比和聯想的方法，才能讓學生自己探索和發現許多新的結論或新的方法.我們在教學中常常根據已有的公式、性質，類比、猜想未知的公式和性質，先類比，后提出問題，再給予證明，這樣得出的正確結論便于學生記憶.學生通過這些活動，不僅能挖掘自己的潛能，增強學習數學的信心，提高學習數學的興趣，還可以體驗到成功后的喜悅，為今后創造性地學習和工作打下良好的基礎.

比如，我們在解高次不等式或分式不等式時，教師可首先引導學生聯想一元二次不等式的結構和解集的形式，概括出各不等式相同的結構特征，引導學生運用解一元二次方程的思維方法，制定各自的解題策略，從而明確解集僅與二次方程的兩根、對應拋物線的開口方向有關.在解完課本列舉的幾種高次不等式和分式不等式的基礎上，引導學生通過對每一道題的解題過程的反思，概括出在解題過程中涉及的常用思想和方法，使學生明白，解高次不等式和分式不等式的思路就是通過類比聯想而轉化的.

解題過程中的概括和解題之后的規律總結，在解題中的作用又是相互聯系的，解題過程中的概括是解題后規律總結的基礎，解題后的規律總結為下一個問題的概括奠定基礎，通過這樣循環往復式的概括和提升，學生的概括能力會逐步得到提高.

總之，數學教學應通過各種途徑和教學模式，對學生抽象概括能力的培養施以積極影響.在教學過程中，一定要突出學生的參與，同時，數學概括能力的培養還要與其他能力的培養協調起來，相互促進，共同發展.數學抽象概括能力是一種綜合能力，需要一個長期的培養過程，其培養途徑也遠非以上幾點.因此，針對不同教學內容和課型，如何培養數學抽象概括能力仍需不斷探索.

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