用欣賞的眼光看“單調”

楊敏

函數是描述宏觀世界變化規律的重要數學模型，是整個高中的核心概念.而函數的單調性則是刻畫函數形態的一個重要特征，是學生在了解函數概念后學習函數的第一個性質，函數的單調性概念用符號語言描述，具有高度抽象性，而抽象性就是函數單調性教學的終極目標，也是最高要求.

那函數的單調性概念是如何由直觀走向抽象的，它的本質又到底是什么呢？下面我們從四個思維遞進層次用欣賞的眼光看單調，并對函數單調性的概念進行剖析，以期達到理順邏輯關系，突破教學難點的目的.

一、形上直觀看單調

從函數的圖像入手研究單調性，比較直觀，很容易被感知.圖形化的“單調性”，可以理解為：函數圖像“從左到右”所呈現出動態的“升”“降”.

如：讓學生觀察某市某一天的氣溫變化圖，可以直觀感受到圖像在某些時段溫度升高或降低，即變化趨勢，再通過觀察y=x，y=x2，y=1[]x等函數的圖像，不難總結出單調性體現在形上包括三個方面：一是動態化的（即所謂的“升”或“降”），二是有方向性的（即所謂“從左到右”，“x增大的方向”），三是局部化的（即所謂“一段一段”）.

由此，我們不難得到函數單調性的直觀描述性定義：設函數f（x）的定義域為I，區間DI；如果在區間D上函數值y隨著自變量x的增大而增大（減小），那么就說函數f（x）在區間D上是增（減）函數.

盡管這種定義不嚴格，但學生初步理解到的是兩個變量之間具有依賴性的增減關系，這是函數單調性中最為基本和初始的思想，這是根本性的要素，也是從圖形中原初思想邁向數學概念的關鍵性的第一步.

二、無限離散型函數的單調性

由函數單調性的直觀描述定義我們易知：對一個函數，若定義域是有限集合，那么就可以把自變量x一個都不少的由小到大排列起來，看所有函數值y是否不斷增加或減少即可.正因為是有限集合上的函數，我們可以一個個的比較和判斷，這是沒有什么難度的.

但當函數的定義域是無限集的情形，單調性又該如何表述呢？我們可以先以無限數列為研究對象，該如何表示其單調性呢？無限數列的本質是一類無限離散型的函數，若一個一個排，永遠排不完，沒有盡頭.但由于數列是離散的，因此我們可以用n∈N*表示“每一個”，用n和n+1表示前項和后項，這樣就涵蓋了數列的各項，可以完成對數列單調性的描述.于是我們可以用數學語言對其定義如下：數列{an}成為是單調遞增（減）數列，是指對于每一個n∈N*，都有an+1>an（an+1

三、在連續數集上的單調性

定義在連續數集上的函數，我們無法一一枚舉，也無法如數列一般分出先后，比較前后兩項.于是，我們再進一步定義：

對于區間D上任意兩個自變量，當x1f（x2）），則稱f（x）是區間D上的增（減）函數，反之同樣成立.

對于這里的任意二字，很多學生會覺得較抽象，其實這一描述也是與形上的“處處”二字、數列中的“每一個”相對應的.若對于區間D=[a，b]這一無限連續集合，由于在“形”上，單調上升體現為在區間D上處處上升，一點也不能少；對單調性在“數”上的刻畫，對于一個無限集合，我們自然無法一個個檢驗，也沒有相鄰兩項可以檢驗，于是只能任取兩個值做檢驗.即無論取哪兩個自變量值x1，x2，只要x1

四、從推廣聯系上談單調

經過三次思維遞進后，我們得到了函數單調性的數學語言描述，但當我們利用其判斷函數的單調性時，還經常出現其一些變形形式，如：（1）乘積式：對于區間D上任意兩個自變量x1≠x2，若（x2-x1）f（x2）-f（x1）>0（<0），則稱f（x）是區間D上的增（減）函數，反之同樣成立；（2）比例式：對于區間D上任意兩個自變量x1≠x2，

若f（x2）-f（x1）x2-x1>0（<0），則稱f（x）是區間D上的增（減）函數，反之同樣成立.

函數單調性的比例式表達與定義異曲同工，但f（x2）-f（x1）x2-x1可以表示平均變化率，從“形”的角度又可用來表示函數圖像上連接（x1，f（x1）），（x2，f（x2））這兩點線段的斜率，即割線的斜率.

若我們把兩個任意點中的一個點看成另外一個點的變量，即f（x2）-f（x1）變成f（x+Δx）-f（x），而x2-x1變成了Δx，于是此比例式可化為：f（x+Δx）-f（x）Δx，若Δx無限小，導數的概念便產生了，由此把單調性和導數聯系了起來：在某個區間（a，b）內，若

f′（x）>0，則f（x）在（a，b）上是增函數；若f′（x）<0，則f（x）在（a，b）上是減函數.

由平均變化率轉變為瞬時變化率，從形的角度來看，由割線的斜率轉變為切線的斜率，這也從某種程度上揭示了導數產生的過程.導數也成為判斷函數單調性的一種便捷的方法.

以上分析，闡述了函數單調性逐步抽象直至完善的過程，也串起了單調性、導數等概念的縱橫聯系，當我們用欣賞的眼光看函數的單調性，還原它非形式化的一面，便可進一步剖析其內涵，化解難點直擊其本質.