MATLAB在大學數(shù)學教學中的應(yīng)用

王扉　龍飛　周雙雙

【摘要】本文以MATLAB在微分方程教學中應(yīng)用為例，從計算機輔助教學、數(shù)學實驗和數(shù)學實踐三個方面談了MATLAB在大學數(shù)學教學中的應(yīng)用，討論了MATLAB在工科數(shù)學教學中的作用和注意事項.

【關(guān)鍵詞】計算機輔助教學；數(shù)學實驗；數(shù)學實踐

【基金資助】受湖南省教學改革研究項目“土建類專業(yè)數(shù)學課程教學研究和改革實踐”，湖南城市學院教學改革研究項目“數(shù)學建模與創(chuàng)新能力培養(yǎng)的研究與實踐”和“數(shù)學類專業(yè)實踐教學考核模式的探索與研究”支持資助.

從工科數(shù)學的角度來看，學生創(chuàng)新精神及能力的培養(yǎng)主要是通過應(yīng)用數(shù)學來體現(xiàn).工科學生主要是通過學數(shù)學，了解數(shù)學，更重要的是掌握數(shù)學的思想，從而應(yīng)用數(shù)學.很多學生在學習的過程中，往往表現(xiàn)出對計算機比數(shù)學更大的學習興趣，注意到這點，適時的在數(shù)學教學中引入數(shù)學軟件不僅能讓學生產(chǎn)生對數(shù)學的興趣，也能讓學生掌握一種較好的學習方式，即自主探索的學習.

目前，數(shù)學軟件在大學數(shù)學的教學中的應(yīng)用已經(jīng)廣泛開展，主要有三種途徑：一是在傳統(tǒng)教學中滲透數(shù)學軟件知識，如文[1]中各章節(jié)增加了MATLAB和Maple在微分方程的應(yīng)用；二是開設(shè)專門的“數(shù)學實驗”或“數(shù)學建模”選修課，如文[2]中既系統(tǒng)介紹了MATLAB軟件，又按不同的數(shù)學方法分章節(jié)組織學生實驗，并從實際案例分析中引導學生學會數(shù)學的應(yīng)用；三是舉辦專題講座和數(shù)學建模競賽等課外活動，普及數(shù)學軟件知識，激發(fā)學生學習興趣.后兩種形式只讓少數(shù)學生受益，只有第一種形式才能讓廣大理工科學生花較少的時間掌握一兩種數(shù)學軟件，從而啟迪他們課外進行自主性研究學習.

現(xiàn)在大學數(shù)學公共課課時有限，教學任務(wù)繁重，大多數(shù)教師仍不得不采取傳統(tǒng)教學方式，內(nèi)容上重理論輕實踐，推理上重演繹輕歸納，教學上重講授輕學習，然而這些已經(jīng)不適應(yīng)現(xiàn)代化人才培養(yǎng)的需要.如何有效地在傳統(tǒng)教學中滲透數(shù)學軟件知識？采取什么形式？滲透多少？這些問題對于一線教師還處在摸索階段.筆者就個人教學經(jīng)驗，以MATLAB在微分方程教學中應(yīng)用為例淺談幾點體會.

一、MATLAB簡介

MATLAB是“MATrix LABoratory”的縮寫（矩陣實驗室）.它是由美國MathWorks公司推出的一種面向科學與工程的計算軟件，是一種用于數(shù)值計算、可視化及編程的高級語言和交互式環(huán)境.

MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的數(shù)學表達式與運算規(guī)則符合通常的習慣，并且MATLAB也吸收了像Maple等軟件的優(yōu)點，支持C，F(xiàn)ORTRAN，C++，JAVA等軟件接合，使MATLAB成為一個強大的數(shù)學軟件.

二、MATLAB在常微分方程求解的應(yīng)用

MATLAB能從三個不同方面實現(xiàn)常微分方程的求解：一是利用其強大的符號運算功能，二是利用其簡便高效的數(shù)值計算功能，三是利用數(shù)字仿真系統(tǒng)Simulink.

（一）MATLAB中常微分方程的符號求解

符號計算是指計算數(shù)學表達式、求解方程不是在離散化的數(shù)值點上進行，而是憑借一系列恒等式.數(shù)學定理，通過推理和演繹，力求獲得解析結(jié)果.MATLAB中主要用函數(shù)dsolve求常微分方程的符號解析解.

（二）MATLAB中常微分方程的數(shù)值求解

所謂微分方程的數(shù)值解就是該方程的解析解在若干點處的近似值.建立數(shù)值解法，首先要將微分方程離散化，往往采取用差商近似導數(shù)、用數(shù)值積分法計算積分或用Taylor多項式近似解函數(shù)等方法.MATLAB中求解常微分方程的數(shù)值解的函數(shù)有五個：ode45、ode23 ode113、ode15s、ode23s.

（三）MATLAB中常微分方程系統(tǒng)的Simulink仿真

Simulink是掛接在MATLAB環(huán)境上，以直觀的模塊框圖進行建模與仿真的工作平臺.它采用模塊組合的方法使用戶能夠快速、準確地創(chuàng)建動態(tài)系統(tǒng)的計算機模型，同時又可借助示波器等虛擬設(shè)備直觀地顯示出系統(tǒng)模型的仿真結(jié)果.一個典型的Simulink模塊包括輸入模塊（信號源模塊）、狀態(tài)模塊和輸出模塊（信號顯示模塊）三個部分.Simulink工具箱中提供了豐富的用于建模的模塊庫，每個模塊庫中又包含了功能不同的多個模塊.一個Simulink模塊的創(chuàng)建和仿真過程大致可分為三個階段：模型分析、模型搭建和模型仿真.實驗者可以根據(jù)不同的需要來創(chuàng)建不同的實驗?zāi)Ｐ停⑼ㄟ^信號波形仿真來驗證實驗?zāi)Ｐ偷恼_性.

三、MATLAB在常微分方程教學中的應(yīng)用

在文[4]中，作者認為數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的發(fā)展途徑有下列三種方式：數(shù)學沿襲、數(shù)學實驗和數(shù)學實踐.筆者認為數(shù)學軟件在教學中的應(yīng)用也可以結(jié)合這三種方式，即計算機輔助教學、數(shù)學實驗和數(shù)學實踐.

（一）計算機輔助教學

計算機輔助教學是指在計算機輔助下進行的各種教學活動，以對話方式與學生討論教學內(nèi)容、安排教學進程、進行教學訓練的方法與技術(shù).利用MATLAB強大的圖形處理和符號計算功能可以有效的輔助教學，具體如下：

1.數(shù)學知識簡單化、形象化、可視化

華羅庚先生指出： “數(shù)缺形少直觀，形缺數(shù)難入微.” MATLAB可以準確地繪出函數(shù)或一般曲線或曲面的圖像，將其插入電子課件中能給學生具體形象的認識.例如，在微分方程的通解、特解和積分曲線的概念教學中，筆者從微分方程的方向場出發(fā)，闡述了這三者的關(guān)系.為加強學生的理解，利用MATLAB繪制出微分方程dydx=x-2y的方向場，并繪制了該方程的若干特解.最后在電子課件中采取動畫演示，吸引了學生注意，讓學生較好地理解了三者的概念.

2.展現(xiàn)數(shù)學知識的生成過程

MATLAB具有強大的符號處理功能，能輔助數(shù)學表達式的推導、能驗證數(shù)學猜想、能求出問題的解析解等.這使得教師在教學中能減輕數(shù)學推導的工作量，也將學生從枯燥冗繁的計算中解放出來，著重于數(shù)學思想和領(lǐng)悟、數(shù)學知識的理解和數(shù)學技能的掌握，從而激發(fā)學生的學習熱情，讓學生能自主地研究學習數(shù)學思想、方法和知識.

數(shù)學理論的抽象性，通常都有某種“直觀”的想法為背景，通過數(shù)學軟件可把直觀的背景顯現(xiàn)出來，直觀形象地展示數(shù)學問題的背景、過程、結(jié)果，為學生創(chuàng)設(shè)一種良好的認知情景.例如，在討論求解線性方程dydx=P（x）y+Q（x）時，傳統(tǒng)教學法只介紹用變易系數(shù)法求解，而沒有介紹為什么變易系數(shù).利用MATLAB的符號計算功能，引導學生先試探求解一階齊次與非齊次線性方程，然后觀察比較兩者通解，啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)變易系數(shù)的技巧，最后引導學生驗證猜想.

（二）數(shù)學實驗

數(shù)學實驗教學的中心思想是：借助數(shù)學軟件，通過學習者自主探索數(shù)學知識、數(shù)學規(guī)律及其實際應(yīng)用的實踐過程，培養(yǎng)創(chuàng)新能力.數(shù)學實驗?zāi)馨选爸v授——記憶——測驗”的傳統(tǒng)學習過程，轉(zhuǎn)變?yōu)椤爸庇X——探試——出錯——思考——猜想——證明”的新型學習模式，將信息的單項傳播轉(zhuǎn)變?yōu)槎囗椊涣鳎箤W生的被動接受變?yōu)橹鲃訉W習.

落實創(chuàng)新能力培養(yǎng)的關(guān)鍵是數(shù)學實驗教學思想融入數(shù)學類主干課程，而數(shù)學實驗的思想融入到大學數(shù)學的教學過程中的關(guān)鍵是數(shù)學實驗的設(shè)計，包括實驗內(nèi)容的選取、實驗?zāi)繕说脑O(shè)置、實驗方式的選擇和實驗結(jié)論的處理.

筆者在微分方程章節(jié)教學中嘗試增開一節(jié)實驗課.實驗內(nèi)容選取了常見的鹽水濃度變化問題；實驗?zāi)繕艘髮W生會用微元法構(gòu)建微分方程，會用MATLAB的求出鹽水濃度變化規(guī)律，特別是能用計算機模擬方法描述鹽水濃度變化規(guī)律；實驗方式采取課前布置、課堂分組實驗、課后撰寫實驗報告的開放形式；實驗結(jié)論的處理采用課堂點評，引導學生思考更實際的應(yīng)用問題，如湖水污染程度的分析、醉酒駕駛的判定和城市干道交通流量的變化等.通過啟發(fā)，讓學生認識到這些問題通過類比，均可轉(zhuǎn)化為濃度問題.體會到數(shù)學模型的可轉(zhuǎn)移性.

教學過程中發(fā)現(xiàn)，學生對于這種計算機仿真實驗方法非常感興趣.學生幾乎是在“玩”的過程中理解了微分方程的構(gòu)建與求解，通過這個仿真實驗，使學生還理解了微分方程數(shù)值求解的基本思想，掌握了用Euler法求解一階常微分方程的算法.

（三）數(shù)學實踐

數(shù)學實踐是指運用習得的數(shù)學知識、技能和能力解決其他學科和實際問題的實踐，數(shù)學建模是數(shù)學實踐的主要形式.數(shù)學建模是利用數(shù)學理論解決實際問題的一種思想方法，是將數(shù)學理論與實際問題聯(lián)系起來的橋梁，即將實際問題用數(shù)學語言來描述和解決.筆者在微分方程教學中，結(jié)合課本知識，精選了一些學生感興趣的生產(chǎn)實踐問題，如人口預(yù)測、名畫真?zhèn)舞b定和核廢料處理等問題，采取課堂討論分析問題，課后完成模型構(gòu)建與求解并撰寫實踐報告，最后師生評議等環(huán)節(jié)，這整個過程穿插著師生、生生網(wǎng)絡(luò)互動，充分調(diào)動了學生課外學習活動的積極性，鞏固了數(shù)學思想方法和課本知識，提高了學生實際動手能力，為今后的專業(yè)學習打下厚實基礎(chǔ).

四、應(yīng)用MATLAB教學的注意事項

在培養(yǎng)大學生的創(chuàng)造性思維、意識和能力等方面，數(shù)學軟件的應(yīng)用具有重要的意義和良好的效果.但在大學數(shù)學教學中融入數(shù)學軟件，我們應(yīng)該注意兩個問題：一是教學中必須合理安排教學內(nèi)容，要以大學數(shù)學教學為主，數(shù)學軟件的應(yīng)用為輔，以確保大學數(shù)學教學任務(wù)能夠順利完成；二是教學中要以介紹數(shù)學思想、方法為主，提高數(shù)學實踐能力為輔，因為畢竟不是數(shù)學建模課程，所以所選實例不宜過于復雜.

數(shù)學軟件應(yīng)用的作用在于解放學生，激發(fā)學生的學習興趣，達到幫助學生學好數(shù)學的目的.在一些數(shù)學實驗的教材中，有的實驗設(shè)計只是把計算機當成求解數(shù)學問題的工具，而沒有體現(xiàn)在應(yīng)用數(shù)學軟件過程中重新發(fā)現(xiàn)“數(shù)學”和培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力這一主題.因此，在數(shù)學軟件應(yīng)用教學中三個層面，教師應(yīng)根據(jù)不同的培養(yǎng)目的，恰當?shù)剡x擇教學素材，突出學生基本思想、基本知識和基本技能這三基的培養(yǎng)，更重要的是學生研究型學習能力和創(chuàng)新精神的開發(fā).

【參考文獻】

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