學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的層次分析

嚴(yán)文軍

【摘要】在學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念進(jìn)行學(xué)習(xí)的過(guò)程當(dāng)中，往往要經(jīng)過(guò)實(shí)際操作活動(dòng)和對(duì)于過(guò)程的理解，從而形成數(shù)學(xué)對(duì)象，最終建立起數(shù)學(xué)概念的綜合心理圖式.本文立足于這一領(lǐng)域展開(kāi)討論，并結(jié)合當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀作出層次分析，希望能夠?qū)τ跀?shù)學(xué)教學(xué)有所助益.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念；層次分析；綜合心理圖式

在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)當(dāng)中，概念教學(xué)始終是一個(gè)極為重要的組成部分，一直以來(lái)，關(guān)于這一領(lǐng)域的研究都只是在邏輯層面上進(jìn)行研究，其不僅涉及關(guān)于教材的編寫(xiě)，也與課堂教學(xué)、理論闡述相關(guān)聯(lián).

一、數(shù)學(xué)概念教學(xué)的現(xiàn)狀分析

我們的數(shù)學(xué)概念教學(xué)通常采用的方式可以分為兩種，一種是概念形式，另一種則是概念同化.在實(shí)際的課堂教學(xué)活動(dòng)當(dāng)中，絕大多數(shù)數(shù)學(xué)教師采用的方式是后一種，也就是說(shuō)將概念的本質(zhì)屬性展現(xiàn)在學(xué)生面前，并羅列出來(lái)定義、名稱和符號(hào)，進(jìn)而揭示其內(nèi)涵和外延.對(duì)于這樣一種教學(xué)方式，其最為顯著的特征就是簡(jiǎn)單明了，通過(guò)有效的方式使學(xué)生能夠明白學(xué)習(xí)的概念，因而這也被稱作是學(xué)生獲得概念的最為基本的方式.

但是，關(guān)于概念同化教學(xué)方式，只是建立在一般的學(xué)習(xí)理論之上，并且較為偏重的是概念的邏輯結(jié)構(gòu)教學(xué)，從而忽視了數(shù)學(xué)概念本身的重要含義.就此而言，數(shù)據(jù)概念本身具有一定的過(guò)程，不僅是邏輯分析的對(duì)象，也是具有現(xiàn)實(shí)背景和豐富寓意的教學(xué)過(guò)程.基于此，務(wù)必要做到返璞歸真，將數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程展現(xiàn)在學(xué)生面前，從而使其能夠?qū)τ诟黜?xiàng)要素的多樣化運(yùn)用有一個(gè)全面的了解，這也在很大程度上符合學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)的學(xué)習(xí)原理.

二、數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的錯(cuò)誤分析

從以往的大量實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)當(dāng)中能夠看到，在關(guān)于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)當(dāng)中，學(xué)生之所以會(huì)出現(xiàn)大量的錯(cuò)誤，主要原因就在于，在概念形成的過(guò)程當(dāng)中，各個(gè)階段和各個(gè)層次都有可能帶來(lái)錯(cuò)誤概念的產(chǎn)生，因此可以稱其為“過(guò)程性錯(cuò)誤”.

1.概念意向形成中的錯(cuò)誤

在數(shù)學(xué)概念的形成和理解過(guò)程當(dāng)中，數(shù)學(xué)概念意象始終發(fā)揮著不容忽視的重要作用，可以說(shuō)，其是構(gòu)成數(shù)學(xué)概念不可或缺的一個(gè)組成部分.學(xué)生在記憶和運(yùn)用數(shù)學(xué)概念的過(guò)程當(dāng)中，大多是將其與概念意象緊密聯(lián)系在一起，而概念意向和概念定義之間不僅存在著聯(lián)系，也是有一定區(qū)別的，前者主要特征是直觀性、主動(dòng)性和模糊性，因此，概念意象的貧乏或者不恰當(dāng)，很容易就會(huì)帶來(lái)錯(cuò)誤概念的產(chǎn)生，而用意象去代替概念也會(huì)帶來(lái)諸多的錯(cuò)誤.譬如說(shuō)，很多數(shù)學(xué)概念都是在日常生活的概念當(dāng)中抽象發(fā)展而來(lái)的，而正是因?yàn)槿粘８拍畲嬖谥^為寬泛的特征，多以才會(huì)對(duì)于學(xué)生的抽象概念理解存在偏差，在學(xué)習(xí)“垂直”相關(guān)概念的時(shí)候，學(xué)生往往會(huì)受到日常生活的影響，因而會(huì)將地平面作為參照來(lái)進(jìn)行“垂直”概念的理解，以此來(lái)代替“互相垂直”的概念.

2.概念聯(lián)系中的錯(cuò)誤分析

對(duì)于概念之間的聯(lián)系始終貫穿于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，要逐步形成數(shù)學(xué)概念，從而建立起來(lái)與其相關(guān)聯(lián)的概念，這種概念主要包括上位、下位以及并列.對(duì)于數(shù)學(xué)概念本身來(lái)說(shuō)，其性質(zhì)是知識(shí)節(jié)點(diǎn)，為了能夠更好地形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，也需要在其中建立相應(yīng)的聯(lián)系加以說(shuō)明.由于聯(lián)系的對(duì)象和方式之間存在著較為明顯的不同，并且聯(lián)系的強(qiáng)弱程度和數(shù)量也存在著差異，所以產(chǎn)生的錯(cuò)誤的形式也是存在著差別的.譬如說(shuō)，我們經(jīng)常會(huì)看到概念聯(lián)系呈現(xiàn)出僵化的錯(cuò)誤，主要表現(xiàn)就是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的時(shí)候，并不能夠主動(dòng)地去建立概念內(nèi)部以及概念之間的聯(lián)系，而是單純地憑借著記憶來(lái)進(jìn)行表達(dá)，或者利用語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行表達(dá)，在這種情況之下，其所掌握的概念是較為孤立的，所掌握的概念內(nèi)部對(duì)象也呈現(xiàn)出來(lái)較為僵化的特征.事實(shí)上，學(xué)生并沒(méi)有真正理解概念，只是將概念分離開(kāi)來(lái)，孤立地去理解它們，僵化地會(huì)用每一個(gè)概念.這樣一來(lái)，就會(huì)使得學(xué)生對(duì)于每一個(gè)概念都很熟悉，但是問(wèn)題終究解決不了.或者說(shuō)學(xué)生對(duì)于相關(guān)的概念定義都能夠熟練背誦，而在運(yùn)用的時(shí)候卻感到不知所措.甚至有的時(shí)候還會(huì)存在著概念聯(lián)系“不恰當(dāng)”的錯(cuò)誤，主要表現(xiàn)就是學(xué)生概念學(xué)習(xí)和運(yùn)用中的不恰當(dāng)，就學(xué)生作業(yè)的情況來(lái)看，這種“不恰當(dāng)”主要可以表現(xiàn)在三種情況，首先是將概念的非本質(zhì)特征作為概念的本質(zhì)特征，與其他概念之間形成聯(lián)系，最終必將帶來(lái)干擾，進(jìn)而產(chǎn)生錯(cuò)誤；其次是將概念的定義、性質(zhì)和判定混為一談，最為常見(jiàn)的就是把概念當(dāng)中的某些性質(zhì)作為概念的整個(gè)本質(zhì)特征，最終所帶來(lái)的就是較為明顯的“思維混亂”，甚至有些錯(cuò)誤聯(lián)系實(shí)質(zhì)上對(duì)于概念是一種“歪曲”.最后是出現(xiàn)思維“戀舊”的限制錯(cuò)誤，如在學(xué)習(xí)正數(shù)與負(fù)數(shù)的時(shí)候，有的學(xué)生往往會(huì)認(rèn)為-a一定就是負(fù)數(shù)，這種想法顯然是由學(xué)生平時(shí)的思維慣性所導(dǎo)致的，最終又不知不覺(jué)地將a限制在正數(shù)的范圍當(dāng)中.

三、教學(xué)建議

1.樹(shù)立建構(gòu)主義教學(xué)觀并精心設(shè)計(jì)教與學(xué)的活動(dòng)

通過(guò)以往的教學(xué)實(shí)踐能夠看出，關(guān)于數(shù)學(xué)概念并不能單純地由教師簡(jiǎn)單地傳授給學(xué)生，而是需要依靠每名學(xué)生依據(jù)現(xiàn)有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)來(lái)主動(dòng)地進(jìn)行建構(gòu).在這樣一種前提條件之下，教師需要充分重視學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，使得學(xué)生能夠親身體現(xiàn)、建構(gòu)數(shù)學(xué)概念.基于此，在課堂教學(xué)當(dāng)中，教師還可以創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的問(wèn)題情境，使得學(xué)生能夠盡可能地?fù)碛懈嗟默F(xiàn)實(shí)背景.在關(guān)于問(wèn)題設(shè)置的時(shí)候，要注意以下幾點(diǎn)：（1）問(wèn)題的內(nèi)容能夠充分揭示相關(guān)數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)背景和形成過(guò)程，并且難易程度不易偏高或者偏低，符合學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，從而使得學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)能夠順利展開(kāi).（2）在數(shù)量方面，要做到適量原則，從而使得學(xué)生能夠取得充足的活動(dòng)體驗(yàn).（3）充分考慮到問(wèn)題設(shè)計(jì)的趣味性和多樣性，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性能夠得以激發(fā).

2.滲透教學(xué)知識(shí)形成中的數(shù)學(xué)思想和方法

大量的研究結(jié)果表明，關(guān)于數(shù)學(xué)思想和方法并不單純是數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的靈魂所在，更是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要目標(biāo)之一.如果能夠引導(dǎo)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思想和方法，那么必然會(huì)幫助學(xué)生展開(kāi)思維，從而懂得建構(gòu)概念的真正內(nèi)涵.對(duì)于教師而言，在具體的教學(xué)活動(dòng)當(dāng)中，理應(yīng)給予學(xué)生一定的提升，引導(dǎo)并且在教學(xué)當(dāng)中歸納隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想和方法.與此同時(shí)，教師切不可孤立各個(gè)數(shù)學(xué)思想和方法之間的密切聯(lián)系，因?yàn)檫@門(mén)學(xué)科本身就充滿邏輯性，只有加強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，才能夠使得學(xué)生思維更加靈活.

3.數(shù)學(xué)對(duì)象的建構(gòu)需要多次反復(fù)強(qiáng)化才能形成

一個(gè)數(shù)學(xué)概念從“過(guò)程”到“對(duì)象”的建立是一個(gè)較為漫長(zhǎng)的復(fù)雜的過(guò)程，并且這一過(guò)程較為抽象，在很多時(shí)候并不能夠通過(guò)實(shí)物表現(xiàn)出來(lái).教師要在教育教學(xué)過(guò)程當(dāng)中反復(fù)強(qiáng)調(diào)，循序漸進(jìn)，螺旋上升，使得學(xué)生能夠真正理解其中的含義.并且“對(duì)象”的建立要注意其簡(jiǎn)練文字形式和符號(hào)的表示，積極地引導(dǎo)學(xué)生在大腦當(dāng)中建立健全數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀結(jié)構(gòu)形象.當(dāng)然，對(duì)于教師而言，更要注重對(duì)于知識(shí)的“概型”的建立，從而強(qiáng)化知識(shí)之間的聯(lián)系和應(yīng)用，幫助學(xué)生在大腦當(dāng)中建立完整的數(shù)學(xué)概念的心理圖式.

總的來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是教育教學(xué)系統(tǒng)當(dāng)中極為重要的過(guò)程，并且關(guān)于數(shù)學(xué)概念的建立需要一個(gè)較為繁雜的過(guò)程，且具有較為抽象的特征.對(duì)于教師而言，理應(yīng)及時(shí)更新觀念，一方面，應(yīng)當(dāng)精心設(shè)計(jì)教與學(xué)的活動(dòng)，提高學(xué)生積極性與參與熱情；另一方面，要通過(guò)反復(fù)訓(xùn)練強(qiáng)化來(lái)加深學(xué)生印象，使得這門(mén)學(xué)科的價(jià)值得到最大程度上的發(fā)揮.

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