從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)

王華

【摘要】高等數(shù)學(xué)中的微積分思想，是從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的必經(jīng)之路，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維素質(zhì)、創(chuàng)新能力起十分重要的作用.本文從牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立的微積分思想獲得啟示，把握了微元法是將變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常量問(wèn)題進(jìn)行處理的核心思想，并引入解析幾何笛卡爾坐標(biāo)概念，為工程技術(shù)中涉及與變量相關(guān)的許多幾何、物理定積分應(yīng)用問(wèn)題提供了一種方法和思路.作為算例，對(duì)物理學(xué)中的變速運(yùn)動(dòng)物體的動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算問(wèn)題應(yīng)用微元法進(jìn)行了求解，方法簡(jiǎn)潔、通用.

【關(guān)鍵詞】微積分；微元法；極限

1.引言

從數(shù)學(xué)的發(fā)展史看，17世紀(jì)前由古希臘、印度、巴比倫、中國(guó)、埃及等創(chuàng)立的代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)所研究的對(duì)象“數(shù)”是常量，研究的對(duì)象“形”是不變的規(guī)則幾何形體，然而，客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運(yùn)動(dòng)變化著，且運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程在空間形式上都存在著一定的數(shù)量對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種建立在以不變“數(shù)”“形”及其相互關(guān)系之上的初等數(shù)學(xué)無(wú)法解釋自然界事物變化的根本內(nèi)在規(guī)律.

17世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾（1596—1650）和德國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（1601—1665）在幾何學(xué)上引入了直角坐標(biāo)系，建立了坐標(biāo)法，即用代數(shù)方程研究和表示曲線，從而創(chuàng)立了一門(mén)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的數(shù)學(xué)學(xué)科——解析幾何，溝通了數(shù)學(xué)中的兩個(gè)基本研究對(duì)象“數(shù)”和“形”之間的聯(lián)系，研究的“數(shù)”是變數(shù)，研究的“形”是不規(guī)則的幾何形體，如曲線、曲面、曲邊形和曲面體等，別開(kāi)生面地開(kāi)創(chuàng)了數(shù)形結(jié)合的研究方法.解析幾何學(xué)的誕生標(biāo)志著人類(lèi)從常量數(shù)學(xué)進(jìn)入了變量數(shù)學(xué)的新階段.

同時(shí)，17世紀(jì)的工業(yè)革命，諸如天文學(xué)、航海學(xué)、測(cè)量學(xué)、造船業(yè)等的發(fā)展需求，迫切需要數(shù)學(xué)上提出更好的方法去解決工程實(shí)際中出現(xiàn)的應(yīng)用問(wèn)題，這些問(wèn)題主要涉及運(yùn)動(dòng)學(xué)的速度問(wèn)題、曲線的切線問(wèn)題、函數(shù)的最值問(wèn)題、與曲線及曲面相關(guān)的弧長(zhǎng)面積的體積計(jì)算問(wèn)題等.在這一背景下，進(jìn)入17世紀(jì)下半葉，英國(guó)科學(xué)家牛頓（1643—1727）和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲（1646—1716）在許多著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家諸如法國(guó)的費(fèi)爾馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格，英國(guó)的巴羅、瓦里士，德國(guó)的開(kāi)普勒，意大利的卡瓦列利等研究切線問(wèn)題、求積問(wèn)題、瞬時(shí)速度、函數(shù)極值等問(wèn)題的基礎(chǔ)上，將古希臘求解無(wú)限小問(wèn)題的各種技巧統(tǒng)一為兩類(lèi)普通的算法——微分和積分，并確立了這兩類(lèi)運(yùn)算的互逆關(guān)系，完成了微積分發(fā)明中最關(guān)鍵的一步.牛頓為解決運(yùn)動(dòng)問(wèn)題從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度創(chuàng)立了這種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)理論——微積分，而萊布尼茲則是從幾何學(xué)的角度進(jìn)行研究，達(dá)到的效果卻是異曲同工，他們把切線的微分問(wèn)題和求積的積分問(wèn)題聯(lián)系在一起，破天荒地為變量建立了一種運(yùn)算規(guī)則，用以描述因變量對(duì)于自變量的瞬時(shí)變化率以及在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中因變量作用的整體積累效果，但是牛頓和萊布尼茲在處理無(wú)窮小量的問(wèn)題上卻不能自圓其說(shuō)，直到19世紀(jì)初，法國(guó)科學(xué)家柯西建立了極限理論，又經(jīng)德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯的進(jìn)一步嚴(yán)謹(jǐn)化，牛頓和萊布尼茲的微積分思想方法才在極限理論的支持下形成了數(shù)學(xué)上優(yōu)美完善的微積分學(xué).

無(wú)論是歐氏幾何，還是上古和中世紀(jì)的代數(shù)學(xué)，都是常量數(shù)學(xué)，只有微積分的問(wèn)世才為變量數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)，微積分學(xué)為近代科學(xué)的快速發(fā)展提供了最有效的數(shù)學(xué)工具，開(kāi)辟了數(shù)學(xué)上的新紀(jì)元.

從研究常量到研究變量，從研究規(guī)則的幾何形體到研究不規(guī)則的幾何形體，是人類(lèi)對(duì)自然界認(rèn)識(shí)的一大飛躍，今天，我們可以通過(guò)微積分理論的一系列公式和定理去求解工程實(shí)際中出現(xiàn)的應(yīng)用問(wèn)題，然而，在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維意識(shí)、能力方面，牛頓—萊布尼茲的微積分原始創(chuàng)立思想在分析問(wèn)題和解決問(wèn)題上則具有重要的學(xué)術(shù)價(jià)值.

2.瞬時(shí)速度問(wèn)題的處理方法到導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生

牛頓在1671年“流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)”中提出兩個(gè)中心問(wèn)題：第一個(gè)問(wèn)題是已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑，求給定時(shí)刻的速度；第二個(gè)問(wèn)題是已知運(yùn)動(dòng)的速度，求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程.其求解過(guò)程分析如下.

盡管平均速度和瞬時(shí)速度是兩個(gè)不同的物理概念，但是時(shí)間增量Δt在無(wú)窮小極限的條件下，平均速度可以轉(zhuǎn)化為瞬時(shí)速度，這就是以“勻速代變速”無(wú)窮小極限的處理思想，可用微元法描述如下：

從上述瞬時(shí)速度的處理方法可以看出，在短暫的時(shí)間段內(nèi)，變速的問(wèn)題將近似為簡(jiǎn)單的勻速問(wèn)題處理，由此，根據(jù)瞬時(shí)速度由增量比取極限的方法可推論出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義的一般形式，即設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)定義為函數(shù)增量與自變量增量之比在自變量增量趨于零時(shí)條件下的極限，表示如下：

微分的幾何意義是函數(shù)y=f（x）在笛卡爾直角坐標(biāo)系所描述的曲線在點(diǎn)P（x0，y0）處切線的縱坐標(biāo)的增量.

導(dǎo)數(shù)和微分是兩個(gè)不同的概念，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在一點(diǎn)處的變化率，而微分是函數(shù)在一點(diǎn)處由自變量增量所引起的函數(shù)的變化量.

3.從變速運(yùn)動(dòng)路程的處理到定積分的產(chǎn)生

對(duì)于牛頓的第二個(gè)問(wèn)題，設(shè)某物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，在給定的時(shí)間間隔[a，b]上，其速度（因變量）與時(shí)間（自變量）的關(guān)系即運(yùn)動(dòng)方程可描述為

由于速度的連續(xù)變化性，在較短的時(shí)間段內(nèi)速度變化不大，運(yùn)動(dòng)近似于勻速，如將給定的時(shí)間間隔[a，b]進(jìn)行分割，在每一小段時(shí)間內(nèi)，以“勻速代變速”，求出路程的近似值，再對(duì)每一小段的路程求和并取極限，從而產(chǎn)生了定積分，可用微元法描述如下：

4.從微積分思想獲得的啟示

從上述導(dǎo)數(shù)和定積分產(chǎn)生的過(guò)程可知，牛頓—萊布尼茲的微分學(xué)和積分學(xué)中最重要的思想是無(wú)論是導(dǎo)數(shù)還是定積分，均采用了微元法這種無(wú)窮小量的處理方法，將變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常量問(wèn)題，在無(wú)窮小的條件下用近似代替的方法解決了變量變化問(wèn)題的瓶頸，這種微元法使“變”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“不變”的問(wèn)題，使得復(fù)雜問(wèn)題迎刃而解.

由此使我們聯(lián)想到對(duì)于工程技術(shù)中涉及與變量相關(guān)的許多幾何、物理定積分應(yīng)用問(wèn)題，可以采用這種微元法作為求解變量問(wèn)題的有效途徑.

對(duì)于由函數(shù)y=f（x）描述的一類(lèi)幾何、物理應(yīng)用的定積分問(wèn)題，微元法具體求解過(guò)程如下：

（1）首先將函數(shù)y=f（x）描述的一類(lèi)幾何、物理應(yīng)用問(wèn)題，引入合適的笛卡爾坐標(biāo)系，為定義微元變量的數(shù)量關(guān)系建立基準(zhǔn)，將函數(shù)y=f（x）轉(zhuǎn)化為在笛卡爾坐標(biāo)系下描述幾何曲線y=f（x）的代數(shù)方程.

（2）對(duì)于具體的變量變化問(wèn)題通過(guò)微元法轉(zhuǎn)化為常量問(wèn)題做近似處理，并借鑒數(shù)學(xué)、物理學(xué)等不同專(zhuān)業(yè)學(xué)科中的規(guī)律、定理建立方程.

（3）選定積分變量和積分區(qū)間，將多元被積函數(shù)用解析幾何的方法轉(zhuǎn)化為只與積分變量相關(guān)的單元被積函數(shù)，用牛頓—萊布尼茲定積分公式及相關(guān)的微積分運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行求解.

5.算例

為了說(shuō)明微元法在處理與變量相關(guān)的許多幾何、物理定積分應(yīng)用問(wèn)題的有效性，考慮如下兩個(gè)問(wèn)題.

問(wèn)題1：質(zhì)量為M的均勻細(xì)長(zhǎng)桿，長(zhǎng)為L(zhǎng)，將其折成等邊三角形，選擇某一邊為旋轉(zhuǎn)軸以等角速度ω旋轉(zhuǎn)，求其動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

分析物理學(xué)中定義的質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，其速度為v的動(dòng)能為1[]2mv2，屬于常量計(jì)算問(wèn)題，而問(wèn)題1的細(xì)長(zhǎng)等邊三角形桿做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在不同回轉(zhuǎn)半徑處的速度是變化的，屬于變量變化的物理問(wèn)題.

同理，物理學(xué)中定義的質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，其半徑為r的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為mr2，屬于常量計(jì)算問(wèn)題，而問(wèn)題1的細(xì)長(zhǎng)等邊三角形桿做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，回轉(zhuǎn)半徑是變化的，也屬于變量變化的物理問(wèn)題.

分析物理學(xué)中定義的質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，其速度為v的動(dòng)能為1[]2mv2，屬于常量計(jì)算問(wèn)題，而問(wèn)題2的等邊三角形均勻薄板做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在不同回轉(zhuǎn)半徑處的速度是變化的，屬于變量變化的物理問(wèn)題.

同理，物理學(xué)中定義的質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，其半徑為r的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為mv2，屬于常量計(jì)算問(wèn)題，而問(wèn)題2的等邊三角形均勻薄板作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，回轉(zhuǎn)半徑是變化的，也屬于變量變化的物理問(wèn)題.為了滿足物理學(xué)中動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算規(guī)則，將問(wèn)題2采用上述微元法求解如下：

（1）首先建立笛卡爾坐標(biāo)系，等邊三角形均勻薄板做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，其中A點(diǎn)的縱坐標(biāo)根據(jù)解析幾何中兩點(diǎn)直線公式可得y=L[]6-1[]2cos30°

6.結(jié)論

本文從牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立的微積分思想獲得啟示，對(duì)微元法處理變量問(wèn)題的一般通用化方法進(jìn)行了研究，并通過(guò)算例驗(yàn)證了微元法的有效性，這對(duì)于有效解決工程技術(shù)中由變量描述的幾何、物理定積分應(yīng)用問(wèn)題提供了一條可行途徑.

【參考文獻(xiàn)】

[1]盛祥耀，居余馬，李歐，程紫明.高等數(shù)學(xué)（第二版，上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，1985：125-326.

[2]侯風(fēng)波.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2003：33-140.