聚焦線性規劃新考情

謝高峰

利用可行域的公共部分求參數

例1 ?若直線[（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0]與不等式組[x+y-7<0，x-3y+1<0，3x-y-5>0]表示的平面區域有公共點，則實數[λ]的取值范圍是（ ? ）

A. [（-∞，-137）?（9，+∞）] ? B. [（-137，1）?（9，+∞）]

C. [（1，9）] ? D. [（-∞，-137）]

解析 ?畫出可行域，求得可行域的三個頂點[A（2，1），][B（5，2），C（3，4）].

而直線[（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0]恒過定點[P（0，-6），]且斜率為[3λ+1λ-1]，

因為[kPA=72，kPB=85，kPC=103]，

所以由[85<3λ+1λ-1<72]得[λ∈][（-∞，-137）?（9，+∞）].

答案 ?A

點撥 ?畫出可行域，求得可行域的三個頂點，確定直線過定點[P]（0，-6），求得直線[PA，PB，PC]的斜率，其中最小值[85]，最大值[72]，則由[85<3λ+1λ-1<72]得[λ]的取值范圍.

利用最值的倍數關系求參數

例2 ?已知[x]，[y]滿足[y≥x，x+y≤2，x≥a，]且[z=2x+y]的最大值是最小值的[4]倍，則[a]的值是（ ? ）

A. [34] ? ? B. [14] ? ? C. [211] ? ? ?D. [4]

解析 ?畫出[x，y]滿足[y≥x，x+y≤2，x≥a]的可行域如下圖.

由 [y=x，x+y=2]得，[A1，1]，由[x=a，y=x]得，[Ba，a].

當直線[z=2x+y]過點[A1，1]時，目標函數[z=2x+y]取得最大值，最大值為3.

當直線[z=2x+y]過點[Ba，a]時，目標函數[z=2x+y]取得最小值，最小值為[3a].

由條件得，[3=4×3a，]所以[a=14].

答案 ?B

點撥 ?由題意可先作出不等式表示的平面區域，再由[z=2x+y]可得[y=-2x+z]，則[z]表示直線[y=-2x+z]在[y]軸上的截距，截距越大，[z]越大，可求[z]的最大值與最小值.

利用充分條件關系求可行域的面積最小值

例3 ?已知[Ω]為[xOy]平面內的一個區域.[p]：點[（a，b）∈{（x，y）|x-y+2≤0，x≥0，3x+y-6≤0}];[q]：點[（a，b）∈Ω].如果[p]是[q]的充分條件，那么區域[Ω]的面積的最小值是 ? ? ? ? .

解析 ?命題[p]對應的平面區域為如圖陰影部分.

則由題意可知，[C（0，2），B（0，6）].

由[x-y+2=0，3x+y-6=0，?x=1，y=3.]

即[D（1，3）]，所以三角形[BCD]的面積為[12×6-2×1=2]，[p]是[q]的充分條件，那么區域[Ω]的面積的最小值是2.

答案 ?2

點撥 ?先利用線性規劃作出不等式組對應的平面區域[BCD]，然后利用[p]是[q]的充分條件，確定平面區域[BCD]與[Ω]之間的面積關系.

利用可行域求向量射影的取值范圍

例4 ?已知實數[x，y]滿足約束條件[x+2y≥2，2x+y≤4，4x-y≥-1.]若[a=x，y，b=3，-1]，設[z]表示向量[a]在向量[b]方向上射影的數量，則[z]的取值范圍是（ ? ）

A.[-32，6] B.[-1，6]

C.[-3210，610] D.[-110，610]

解析 ?畫出約束條件的可行域，由可行域知：[a=（x，y）=2，0]時，[a]在[b]方向上的射影的數量最大，此時[a?b=6]，所以[a]在[b]方向上的射影的數量為[610];當[a=12，3]時，[a]在[b]方向上的射影的數量最小，此時[a?b=-32]，所以[a]在[b]方向上的射影的數量為[-3210].所以[z]的取值范圍是[[-3210，610]].

答案 ?C

點撥 ?作出不等式組對應的平面區域，利用向量投影的定義計算[z]的表達式，利用數形結合即可得到結論.

可行域中的最值問題與基本不等式結合

例5 ?若目標函數[z=ax+by（a>0，b>0）]滿足約束條件[2x-y-6≤0，x-y+2≥0，]且最大值為40，則[5a+1b]的最小值為（ ? ）

A. [256] ? B. 4 C. [94] ? ?D. 1

解析 ?不等式表示的平面區域陰影部分，

當直線[z=ax+by（a>0，b>0）]過直線[x-y+2=0]與直線[2x-y-6=0]的交點（8，10）時，目標函數[z=ax+by（a>0，b>0）]取得最大40，即[4a+5b=20]，

而[5a+1b=5a+1b×4a+5b20=54+5b4a+a5b≥94].

答案 ?C

點撥 ?先根據條件畫出可行域，設[z=ax+by][（a>0，][b>0）]，再利用幾何意義求最值，將最大值轉化為[y]軸上的截距，只需求出直線[z=ax+by（a>0，b>0）]，過可行域內的點（8，10）時取得最大值，從而得到一個關于[a，b]的等式，最后利用基本不等式求最小值即可.