注意創新，注重“雙基”

許世敬

【摘要】 高考數學立體幾何占有一定的比重，在整個高中知識體系中也具有一定的地位. 筆者從一道三明市質檢題中，總結了幾點思考，摸索出高考立體幾何命題的幾個熱門趨勢. 此外筆者發現，在數學教學中教師應該引導學生注重“雙基”的掌握，注意創新能力的培養.

【關鍵詞】 立體幾何；創新；雙基；知識點的交匯；存在性問題

立體幾何作為高中數學幾大主干知識之一，是各省高考數學必考的一塊內容，在整個高中數學體系中具有一定的地位. 近年來，隨著高考改革的不斷深入與創新，立體幾何的試題漸漸不再像以往那樣簡單地闡述，也不再局限于立體幾何內部. 別具一格的立體幾何題，要求學生對所學的內容要融會貫通，既要注意創新，又要注重“雙基”.

下面，由一道立體幾何題引發了幾點思考. （福建省三明市普通高中畢業班質量檢查（數學理）第19題）

某設計部門承接一產品包裝盒的設計（如圖所示），客戶除了要求AB，BE邊的長分別為20 cm和30 cm外，還特別要求包裝盒必須滿足：① 平面ADE⊥平面ADC；② 平面ADE與平面ABC所成的二面角不小于60°；③ 包裝盒的體積盡可能大.

若設計出的樣品滿足：∠ACB與∠ACD均為直角且AB長20 cm，矩形DCBE的一邊長為30 cm，請你判斷該包裝盒的設計是否符合客戶的要求？說明理由.

思考一：敢于創新，作出新的嘗試

這道質檢題對立體幾何題的出題方式做了大膽的創新. 第一，題目以應用題的方式出現，大部分學生首次接觸，望“題”興嘆. 不管是初中還是高中的學生，應用題都是學生心目中難以磨滅的“痛”. 應用題一般信息量大、審題難、理解難、分析難、計算難等，這些都導致學生面對應用題時，容易對題目產生“繳械投降”的心理. 本道題一反常態，聯系生活以應用題的形式來考查，這一新的改變給學生審題帶來了挑戰，讓學生認識到立體幾何的靈活性，這打破了學生對立體幾何的思維定式. 此題無法直接運用平時的解題思路和模式，它需要學生真正理解幾何中垂直平行的證明和角度距離的計算. 第二，本題提問的方式獨具匠心，引導學生先作出判斷進而證明，滿足的條件即是要證明的三步. 這樣的提問方式，充分展示了應用題的特點——審題難. 考試結束后，大部分學生表示，無法理解題意，要求做什么都不清楚. 其實，認真分析之后可以發現，本題應用了語文中的倒裝，題目的結論實際上是已知，而已知才是要證明的結論.

此題應該引發學生對立體幾何出題方式的重視，學生必須克服應用題這個難關. 立體幾何的應用題化是一個新的發展趨勢，它同樣能收到應有的考查效果. 在很多省市這種相同的類型習題相繼出現.

思考二：掌握“雙基”，萬變不離其宗

這道質檢題雖然有著應用題的“外表”，但實際考查的只是立體幾何的基本知識和基本方法. 高考中，在立體幾何這部分，一般圍繞證明和計算展開. 證明包括線線、線面、面面的垂直和平行的證明，這要求學生熟練掌握課本中的定理和性質，本題中的第一步就是證明面面垂直. 而計算則包括異面直線、線面、面面所成的角以及距離和體積的計算，此題的第二、三步就是分別計算二面角和體積. 對于計算，理科學生可借助向量法直接運算，而文科必須經歷“尋找、證明、計算”三步來解決. 但不管何種方法，這都屬于立體幾何的主干內容，是可以預測的必考內容. 因此，在平時的教學過程中，夯實“雙基”才是重中之重. 只有把主干知識、主要方法徹底理解掌握，那么無論題目如何變化，你都將得心應手.

思考三：融會貫通，理清知識的交匯

近年來，考查知識點之間的交匯也是高考命題的一個趨勢. 本道質檢題中的第三步求體積的最大值，涉及基本不等式或者求導，這就不再局限于立體幾何的知識，而是借助幾何考查其他知識的重要內容和方法，體現綜合考查的功能. 這就意味著在數學教學中，要善于引導學生有效地把握知識間的縱橫聯系和綜合創新應用，對所學內容融會貫通，形成有序的網絡化知識體系，以開闊視野，形成能力，全面提高數學素養. 像這樣以立體幾何為背景，考查解析幾何、函數、導數、三角、數列、概率等主干內容，在各地的高考命題中呈現顯著趨勢，提高了知識技能應用的綜合性和解題的靈活性.

（2014年福建理科模擬卷）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是側面BB1C1C內一動點，若點P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是 （ ）.

A. 直線 B. 圓 C. 雙曲線 D. 拋物線

此題考查的是立體幾何與解析幾何的交匯知識.

思考四：化動為靜，解決存在性問題

存在性問題也是高考立體幾何中一道亮麗的風景線，本道題中問是否符合客戶要求，即是否存在的意思. 一般這個類型可以直接從正面入手，也可以從結論假設出發進行求解. 在本題中BC邊是未知的、是變化的、是動的，但是我們解題時以一個參數暫時固定下來，轉化為靜，然后推導論證，在滿足題意的情況下解決了動態的參數. 立體幾何存在性是近幾年高考熱點之一，這種類型有利于考查學生歸納、判斷等各方面的能力，也有利于創新意識的培養. 因此，在教學中必須注重培養學生化動為靜的思維方法，引導學生觀察動中有靜，解決動中求靜.

新課程下的高考立體幾何題雖然千變萬化，但實際上還是緊緊圍繞著其核心內容與主要思維方法. 從上述的題目中，我們隱隱約約看到了立體幾何的幾個熱門趨勢，平時應加以注意. 在數學教學過程中，教師作為主導，學生作為主體，應引導學生積極參與數學知識的建構過程，培養學生的思維能力. 在注重“雙基”的同時，引導其注意創新，全面提高領會立體幾何的水平. 從而，讓學生在高考的這部分內容中，立于不敗之地.