談中考數學的情境應用問題

林永金 林晴嵐

摘 ? 要：情境應用問題以現實生活為背景，取材新穎，立意巧妙，旨在考查閱讀理解能力和數學建模能力，讓學生在閱讀理解的基礎上，將實際問題抽象轉化為數學問題.解決這些應用問題，關鍵是審題，弄清關鍵的詞句及含義;重點是分析，找出問題中的數量關系，并將其轉化為數學式子，進行整理、運算、解答.

關鍵詞：中考;數學;情境;應用

新課程要求把學生的發展作為教學的出發點.因此，數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗及生活經驗的基礎上，教學活動的素材應有利于激發學生的學習積極性.情境應用問題以現實生活為背景，取材新穎，立意巧妙，旨在考查閱讀理解能力和數學建模能力，讓學生在閱讀理解的基礎上，將實際問題抽象轉化為數學問題.

建構主義理論認為學習數學是主體對數學知識的認識過程，學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿、練習等被動的吸收過程，而應是在教師指導下依賴于已有的認知結構而進行的主動建構學習的過程.情境應用問題主要類型包括不等式型，方程型，函數型，統計型四大類，解決這些應用問題，關鍵是審題，弄清關鍵的詞句及含義;重點是分析，找出問題中的數量關系，并將其轉化為數學式子，進行整理、運算、解答.下面以近幾年龍巖市數學中考題為例，談談情境應用問題.

1 ? 方程型情境應用題

方程（組）模型是刻畫現實世界數量關系的最基本的數學模型，它可以通過數量關系準確地揭示問題的本質.

例1 ? 已知：用2輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運貨10噸; 用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運貨11噸.某物流公司現有31噸貨物，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都裝滿貨物.

根據以上信息，解答下列問題：

（1）1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運貨多少噸？

（2）請你幫該物流公司設計租車方案;

（3）若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次.請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費.

解：（1）設1輛A型車、1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運貨x噸、y噸，依題意列方程組得：

2x+y=10x+2y=11 ，解方程組，得x=3y=4 .

答：1輛A型車裝滿貨物一次可運3噸，1輛B型車裝滿貨物一次可運4噸.

（2）結合題意和（1）得3a+4b=31，

∴a=.

∵a、b都是正整數，

∴a=9b=1， 或a=5b=4， 或a=1b=7 .

答：有3種租車方案： ①A型車9輛，B型車1輛;

②A型車5輛，B型車4輛;

③A型車1輛，B型車7輛.

（3） 方案 ①需租金：9×100+120=1020（元）;

方案 ②需租金：5×100+4×120=980（元）;

方案 ③需租金：1×100+7×120=940（元）.

∵ ?1020>980>940，

∴ ?最省錢的租車方案是：

A型車1輛，B型車7輛，最少租車費為940元.

點評：方程（組）型應用題是指應用題的背景材料可以轉化為方程（組）模型來解決的題目，解決這類問題的關鍵是針對背景材料，設定合適的未知數，找出相等關系，建立方程（組）模型.

2 ? 不等式型情境應用題

不等式（組）型應用題是指應用題的背景材料可以轉化為不等式（組）來解決的題目，解決這類問題的關鍵是針對背景材料，確定某個量的變化范圍，建立不等式（組）模型，列不等式解應用題.

例2 ? 龍巖市某中學2013屆九年級（1）班學生為四川雅安災區人民開展募捐活動，募捐活動共收得募捐款2200元.班委會決定拿出不少于850元但不超過900元的募捐款直接匯給災區紅十字會，其余募捐款直接用于為災區某校九年級（1）班50名同學每人購買一個文具盒或一個書包，并郵寄給他們，假定郵費共計30元;已知每個書包的單價比每個文具盒多12元，用176元恰好可以買到4個文具盒和3個書包.

（1）求每個文具盒和每個書包的價格分別為多少元;

（2）有幾種購買文具盒和書包的方案？

解：（1）設1個文具盒的單價為x元，則1個書包單價為（x+12）元.

依題意，得：4x+3（x+12）=176，

解得x=20，所以x+12=32，

所以，書包每個32元，文具盒每個20元 .

（2）設購買文具盒y個，則購買書包（50-y）個.

依題意，得：20y+32（50-y）≥2200-900-3020y+32（50-y）≤2200-850-30 ，

解得23≤y≤27，

∵y是整數 ?∴ y取24、25、26、27.

所以，有四種購買方案：

購買文具盒24個，書包26個

購買文具盒25個，書包25個

購買文具盒26個，書包24個

購買文具盒27個，書包23個.

點評：一般所求問題中有“至少”、“最多”、“不低于”、“不大于”、“不小于”、“高于”等詞，要正確理解這些詞的含義，同時，在最后確定未知數的值時要注意未知數所表示的實際意義，通常取正整數值.

3 ? 函數型情境應用題

“關注課標， 貼近生活，聯系實際”是中考函數應用題的編題原則，包括一次函數、反比例函數、二次函數及函數圖象信息方面的應用.

例3 ? 隨著地球上的水資源日益枯竭，各級政府越來越重視倡導節約用水.某市對居民生活用水按“階梯水價”方式進行收費，人均月生活用水收費標準如圖1所示.圖中x表示人均月生活用水的噸數，y表示收取的人均月生活用水費（元）.請根據圖象信息，回答下列問題：

（1）該市人均月生活用水的收費標準是：不超過5噸，每噸按 ? ? ?元收取;超過5噸的部分，每噸按 ? ? ?元收取;

（2）請寫出y與x的函數關系式;

（3）若某個家庭有5人，五月份的生活用水費共76元，則該家庭這個月用了多少噸生活用水？

解：（1）1.6，2.4;

（2）y=x（0≤x≤5）x-4（x>5）;

（3）∵5個人五月份的生活用水費是76元，

∴平均每個人的生活用水費是元，

∵>8，

∴x-4=，

解得，x=8.

∴5×8=40（噸）.

答：該家庭這個月共用了40噸生活用水.

點評：解決此類問題的關鍵是學會用數學知識去觀察、分析、概括所給的實際問題，將其轉化為函數模型.

4 ? 統計型情境應用題

統計型應用題是指利用統計知識來解決的應用題，這類問題選材緊密聯系生活實際，關注社會熱點，注重背景設置的新穎性.

例4 ? 某校九年級有10個班，每班50名學生.為調查該校九年級學生一學期課外書籍的閱讀情況，準備抽取50名學生作為一個樣本進行分析，并規定如下：設一個學生一學期閱讀課外書籍本數為n，當0≤n<5時為一般讀者;當5≤n<10時為良好讀者;當n≥10時為優秀讀者.

（1）下列四種抽取方法最具有代表性的是 ? ? ? ? ;

A.隨機抽取一個班的學生 ?B.隨機抽取50名學生

C.隨機抽取50名男生 ? ? ? ? D.隨機抽取50名女生

（2）由上述最具代表性的抽取方法所抽取50名學生一學期閱讀本數的數據如下：

根據以上數據回答下列問題：

①求樣本中優秀讀者的頻率;

②估計該校九年級優秀讀者的人數;

③在樣本為一般讀者的學生中隨機抽取2人，用樹形圖或列表法求抽得2人的課外書籍閱讀本數都為4的概率.

解：（1） B ;

（2）①=， ∴優秀讀者的頻率是;

② 500×=200（人），∴估計該校九年級優秀讀者有200人;

③列樹形圖如圖2：

由樹形圖可知，共有16種情況，其中每種情況的可能性相同.其中兩個都為4的情況有4種，

∴P（都為4）==

點評：解決此類題目的一般思路是收集信息，然后整理、描述、分析數據解決實際問題.