函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的賦值式及妙用

何來成

【摘要】二次函數(shù)，在處理區(qū)間上函數(shù)絕對值及最值問題上，使用賦值式求解，常使題設(shè)條件直觀化，從而達到解題的目標(biāo).

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；賦值；妙用

由于近幾年高考，競賽中出現(xiàn)二次型函數(shù)綜合題，在討論及處理系數(shù)和絕對值問題上，對學(xué)生來說是一道不易跨越的鴻溝.使用了f（x）=ax2+bx+c的賦值式來解，優(yōu)點在于能使題設(shè)條件直觀化，并且由式子本身的結(jié)構(gòu)，還可以指明下一步思維的方向，朝結(jié)論逐步推進，從而達到解題的目標(biāo).本文將介紹f（x）=ax2+bx+c賦值式在解綜合題時的作用.

大家知道，函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，（x∈R）分別令x=0，1，-1可得

f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c.

由上可知：a=f（1）+f（-1）-2f（0）2，b=f（1）-f（-1）2，c=f（0）.

∴f（x）=ax2+bx+c可變形為另一種表示形式——賦值式：

f（x）=f（1）+f（-1）-2f（0）2x2+f（1）-f（-1）2x+f（0），（Ⅰ）

或f（x）=f（1）x2+x2+f（-1）x2-x2+f（0）（1-x2）.（Ⅱ）

例1 設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx+c滿足f（1）≤1，f（-1）≤1，|f（0）|≤1.

求證：x∈[-1，1]時，|f（x）|≤54

證明 |f（x）|≤1，f（-1）≤1，|f（0）|≤1且x∈[-1，1]，由（Ⅱ）可得

|f（x）|=f（1）x2+x2+f（-1）x2-x2+f（0）（1-x2）

≤12x2+x+12x2-x+1-x2 ①

=-x+1-x2 x∈-1，0

或=x+1-x2 x∈0，1

=x+1-x2=-x-122+54≤54 ②

并且當(dāng)x=±12，時，等號①，②同時成立，f（0）=±f（1）=±f（-1）=±1.

∴x∈[-1，1] 時，|f（x）|≤54.

例2 已知a，b，c是實數(shù)，函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b，且當(dāng)-1≤x≤1時，|f（x）|≤1.

（1）證明c≤1；（2）證明當(dāng)-1≤x≤1時，|g（x）|≤2；

（2）設(shè)a>0，且當(dāng)x∈[-1，1]時，g（x）的最大值為2，求f（x）.

證明 （1）由（Ⅰ） 可知a=f（1）+f（-1）-2f（0）2，b=f（1）-f（-1）2，c=f（0）.

∵x∈[-1，1]時，|f（x）|≤1，∴|f（x）|≤1，f（-1）≤1，c=|f（0）|≤1.

（2）當(dāng)x∈[-1，1]時，

|g（x）|=ax+b=f（1）+f（-1）-2f（0）2x+f（1）-f（-1）2

=f（1）x+12+f（-1）x-12-f（0）x≤12x+1+12x-1+x =x+1≤2.

（3）∵a>0，∴x∈[-1，1]時，g（x）max=g（1）=a+b=2.

即f（1）+f（-1）-2f（0）2+f（1）-f（-1）2=2f（1）-f（0）=2f（1）=1，f（0）=-1.

∵-1≤x≤1時，f（x）≥-1，即f（x）≥f（0），由二次函數(shù)性質(zhì)可知x=0是y=f（x）的對稱軸，即f（-1）=f（1）=1，

∴a=f（1）+f（-1）-2f（0）2=2，

b=f（1）-f（-1）2，c=f（0）=-1，即f（x）=2x2-1.