條件概率的第三定義條件概率的第三定義

謝楠

【摘要】條件概率是數學選修2—3第二章2.2節內容，課本在給出兩個定義的過程中，由于未對條件概率的兩種情形進行說明，致使學生難于理解.本文嘗試給出條件概率的另一種定義，幫助大家分清條件概率的兩種情形，加深對條件概率內涵的理解.

【關鍵詞】條件概率；概率；隨機試驗；事件；抽簽

一、課本上思考問題的另一種解法

思考問題（見數學選修2—3第二章2.2節）：3張獎券中只有1張能中獎，現分別由3名同學無放回地抽取，如果已經知道第一名同學沒有抽到中獎獎券，那么最后一名同學抽到中獎獎券的概率是多少？

課本解法：用A表示第一名同學沒有抽到中獎獎券的事件，B表示最后一名同學抽到中獎獎券的事件，Y表示抽到中獎獎券，N表示沒抽到中獎獎券，則B={NNY}，A={N NY，N Y N}，由古典概型可知，最后一名同學抽到中獎獎券的概率是n（B）[]n（A）=1[]2，由此引出條件概率定義：P（B|A）=n（AB）[]n（A）

另一解法：用A表示第一名同學沒有抽到中獎獎券的事件，B表示最后一名同學抽到中獎獎券的事件，所有的基本事件為兩張不中獎獎券和1張能中獎獎券，一名同學抽獎后，剩余的基本事件全體為Ω={1張中獎獎券，1張不能中獎獎券}，含B的基本事件是{1張中獎獎券}，由古典概型可知，最后一名同學抽到中獎獎券的概率是1[]2，由此啟發我們給出條件概率的另一定義：P（B|A）=A發生后剩余的含B的基本事件個數/A發生后剩余的基本事件總數.

本文稱之為條件概率的第三定義.本定義較之課本給出的條件概率定義，學生比較容易理解和掌握.

二、條件概率第三定義應用舉例

例1 （見數學選修2—3第二章2.2節P60頁）在5道題中有3道理科題和2道文科題，如果不放回地依次抽取2道題，求在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率.

解 設第1次抽到理科題為事件A，第2次抽到理科題為事件B，第1次抽到理科題后剩余的題數是4道，其中2道理科題，

由條件概率第三定義可知，

P（B|A）=2[]4，即P（B|A）=1[]2.

例2 （見數學選修2—3第二章2.2節P61頁）從一副不含大小王的52張撲克牌中不放回地抽取2次，每次抽1張，已知第1次抽到A，求第2次也抽到A的概率.

解 設第1次抽到A為事件B，第2次也抽到A為事件C，第1次抽到A后剩余的基本事件總數是51，第1次抽到A后剩余的A撲克牌有3張，

所以，依據條件概率第三定義得，P（C|B）=3[]51

例3 （見數學選修2—3第二章2.2節P61頁）100件產品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件，已知第1件抽出的是次品，求第2次抽出正品的概率.

解 設第1件抽出的是次品為事件A，第2次抽出正品為事件B，第1件抽出次品后剩余的基本事件總數是99，第1件抽出次品后剩余的含正品的基本事件個數為95，

所以，依據條件概率第三定義得，P（B|A）=95[]99.

例4 （見數學選修2—3第二章2.2節P63頁）一個口袋內裝有2個白球和2個黑球，那么（1）先摸出1個白球不放回，再摸出1個白球的概率是多少？

（2）先摸出1個白球放回，再摸出1個白球的概率是多少？

解 記先摸出1個白球為事件A，再摸出1個白球為事件B，

（1）先摸出1個白球后剩余的基本事件總數為3，先摸出1個白球后剩余的白球個數是1，故依據條件概率第三定義得，P（B|A）=1[]3.

（2）先摸出1個白球后剩余的基本事件總數為4，先摸出1個白球后剩余的白球個數是2，

故，依據條件概率第三定義得，P（B|A）=2/4，即P（B|A）=1[]2.

運用條件概率第三定義解決以上例題，較之課本給出的定義，更簡捷、更能抓住題目的本質.

三、條件概率的兩種情形

條件概率P（B|A）為在事件A發生的條件下，事件B發生的概率.在事件A發生的條件下，事件B發生包括兩種情形.第一種情形：事件A發生后，事件B才發生；第二種情形：事件A發生的同時，事件B也可能發生.這兩種情形的共同點是事件A、B都發生.本文給出的條件概率第三定義適用范圍是第一種情形.如果是第二種情形，必須運用課本的條件概率定義.

例如，一個箱子中裝有4個白球和3個黑球，一次摸出2個球，在已知它們的顏色相同的情況下，求該顏色是白色的概率？

解 記摸出的2個球顏色相同為事件A，摸出的2個球是白球為事件B，由于事件A發生的同時，事件B也可能發生，故用課本給出的條件概率定義解決，

n（AB）=n（B）=C24，n（A）=C24+C23，

所以，P（B|A）=C24/（C24+C23）.

本文對條件概率的兩種分類，以及據此給出的條件概率第三定義，可以較好地幫助學生認清條件概率的本質

【參考文獻】

[1]楊義群.初等概率教學中定義條件概率的兩個問題探討[J].教學與研究（中學數學），1984，（4）：3.

[2]謝國瑞.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]王潘玲.應用高等數學[M].杭州：浙江科學技術出版社，2004.

[4]曹之江.現代數學優教原理探索[J].數學教育學報，2004（2）.