關于數列中錯位相減法的進一步思考

譚杭軍

數列是高中數學的主干內容，又是學生進一步學習的基礎，在高考和各種數學競賽中都占有重要的地位.數列求和是數列教學的一個重要環節，除了等差數列和等比數列有求和公式外，大部分數列的求和都需要一定的技巧，常見的方法有公式法、錯位相減法、倒序相加法、分組法、裂項法、數學歸納法、通項化歸、并項求和等等.其中方法之一，錯位相減法是數列高考命題的高頻點，但是從日常教學來看，學生對此問題的掌握不是很順暢，其最大的問題是最后一項同類項的合并的失誤和計算的準確率低.文[1]介紹了用裂項相消法“取代”錯位相減法，大大減少了計算量，且提高了正確率，其相關結論如下：

定義1 錯位相減法是一種常用的數列求和方法，應用于等比數列與等差數列相乘的形式.形如An=Bn·Cn，其中Bn為等差數列，Cn為等比數列；分別列出Sn，再把所有式子同時乘以等比數列的公比，即kSn；然后錯一位，兩式相減即可.

定義2 裂項相消法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.

引理設數列An=（bn+c）an（a≠1，b≠0），則An=A′n-1-A′n=

x（n-1）+yan-1-xn+yan，則數列An前n項和為Sn=y-xn+yan，（其中x=ba-1，y=ac+ab-c（a-1）2）.

文[1]僅適合在數列Bn為等差數列（即一次函數）的時候，但是在實際教學過程中，經常碰到一些利用二次錯位相減法的題目（即數列Bn是二次函數），那么是否也可以推廣呢？

思考Ⅰ數列An=Bn·Cn，Cn為等比數列，當數列Bn=bn2+cn+d時，An是否也可以寫成相鄰兩項數列之差呢？

推理Ⅰ設數列An=（bn2+cn+d）an（a≠1，b≠0），An=A′n-1-A′n=

x（n-1）2+y（n-1）+zan-1-xn2+yn+zan，則數列An前n項和為Sn=z-

xn2+yn+zan（其中x=ba-1，y=ac-c+2ab（a-1）2，z=da-1+ac-ab（a-1）2+2a2b（a-1）3）.

證明：令A′n=xn2+yn+zan，An=A′n-1-A′n

=x（n-1）2+y（n-1）+zan-1-xn2+yn+zan=ax（n-1）2+ay（n-1）+az-xn2-yn-zan=（ax-x）n2+（ay-2ax-y）n+ax-ay+az-zan

∴ax-x=bay-2ax-y=cax-ay+az-z=d

即x=ba-1y=ac-c+2ab（a-1）2z=da-1+ac-ab（a-1）2+2a2b（a-1）3

∴An=A′n-1-A′n=x（n-1）2+y（n-1）+zan-1-xn2+yn+zan

則Sn=A1+A2+A3+…+An=（x（1-1）2+y（1-1）+za0-x（2-1）2+y（2-1）+za）

+x（2-1）2+y（2-1）+za-x（3-1）2+y（3-1）+za2+…+x（n-1）2+y（n-1）+zan-1-xn2+yn+zan=x（1-1）2+y（1-1）+za0-xn2+yn+zan=z-xn2+yn+zan.（其中x=ba-1，y=ac-c+2ab（a-1）2，

z=da-1+ac-ab（a-1）2+2a2b（a-1）3），證畢.

例已知數列{an}滿足：a1=2，an+1=21+1n2an.

（1）求數列an的通項公式；

（2）求證：a1+a2+…+an<（n2-2n+2）·2n+2

解法一：運用二次錯位相減法

（1）求法略，an=n2·2n（2）用歸納法等傳統方法，略.

解法二：裂項相消法

（1）求法略，an=n2·2n

（2）令bn=（An2+Bn+C）·2n使得an=bn+1-bn，則bn+1-bn=

[An2+（4A+B）n+2A+2B+C]·2n=n2·2n，∴A=14A+B=02A+2B+C=0，

∴A=1B=-4C=6即bn=（n2-4n+6）·2n，∴a1+a2+…+an=（b2-b1）+

（b3-b2）+…（bn+1-bn）=（n2-2n+3）·2n+1-6，

∴（n2-2n+2）·2n+2-[（n2-2n+3）·2n+1-6]=2n+1·（n-1）2+6>0，證畢.

思考Ⅱ當數列Bn=bn3+cn2+dn+e或者次數更高時，An是否也可以寫成相鄰兩項數列之差呢？

推理Ⅱ數列An=x1nm+x2nm-1+…+xm+1an（x1≠0，a≠1），An=A′n-1-A′n，

其中A′n=y1nm+y2nm-1+…+ym+1an，則數列An前n項和為Sn=A′0-A′n

=ym+1-y1nm+y2nm-1+…+ym+1an，（其中y1、y2、…、ym+1均為常數）.

由以上可知，An也可以寫成相鄰兩項數列之差，結論是肯定的，當然在實際教學過

程中，很少出現3次以上的問題，倘若有，不難證之，方法同上.

總之，對于數列An=Bn·Cn，其中Cn為等比數列，Bn=x1nm+x2nm-1+…+xm+1

（x1，x2，…，xm+1為常數），都可以采用裂項相消法，從而“取代”錯位相減法，使其減少計算量、規避運算量，從而提高解題正確率，同學們不妨一試.

【參考文獻】

[1]陳佳敏，毛選林.裂項相消法“取代”錯位相減法.[J].讀寫算，2012（41）.