略談二元函數在定點處的可微性條件

閆瑞玲

【摘要】本文列出了二元函數在定點處可微的幾個條件并指出其作用，通過例子進一步明確這些條件的使用規則，以便在應用中做到具體問題具體分析.

【關鍵詞】二元函數；偏導數；連續；可微；條件

對一元函數而言，可導與可微是等價的，連續是可導與可微的必要條件.

二元函數與一元函數相比，似乎僅比一元函數多了一個自變量，但其定義域已從一維空間擴充到了二維空間，幾何意義從二維空間改變到了三維空間，各種分析性質（連續性，可導性，可微性等）之間的影響變得很復雜.

下面探討二元函數在定點處的可微條件，引起注意.

一、定義

若二元函數z=f（x，y）在點P（x0，y0）的全改變量Δz=f（x0+Δx，y0+Δy）-f（x0，y0）可表示為Δz=AΔx+BΔy+o（ρ），就說z=f（x，y）在點P（x0，y0）可微，其中ρ=（Δx）2+（Δy）2，A，B是常數.并把dz=AΔx+BΔy稱作z=f（x，y）在點P（x0，y0）處的全微分.

這是z=f（x，y）在點P（x0，y0）可微的充要條件.

二、z=f（x，y）在點P（x0，y0）可微的幾個條件

定理1 如果二元函數z=f（x，y）在點P（x0，y0）可微，則它在點P（x0，y0）連續.

定理2 如果二元函數z=f（x，y）在點P（x0，y0）可微，則它在點P（x0，y0）的兩個偏導數存在，且定義中的A=f′x（x0，y0），B=f′y（x0，y0）.

無論是二元函數z=f（x，y）在點P（x0，y0）連續，還是其在點P（x0，y0）存在偏導數都僅僅是其可微的必要條件，而非充分條件.所以對一般的二元函數在定點處的可微性問題，僅計算出兩個偏導數A=f′x（x0，y0），B=f′y（x0，y0），就得出z=f（x，y）在點P（x0，y0）可微的結論，甚至說z=f（x，y）在點P（x0，y0）處的全微分是dz=f′x（x0，y0）Δx+f′y（x0，y0）Δy，是錯誤的.當且僅當二元函數z=f（x，y）在點P（x0，y0）可微時，才把f′x（x0，y0）Δx+f′y（x0，y0）Δy稱作是z=f（x，y）在點P（x0，y0）處的全微分.

如果定理2的條件再加強，就得到一個z=f（x，y）在點P（x0，y0）可微的另一個條件.

定理3 二元函數z=f（x，y）在點P（x0，y0）的某鄰域內存在偏導數，且f′x（x，y），f′y（x，y）在P（x0，y0）連續，則z=f（x，y）在點P（x0，y0）可微.

定理3擴大了考慮范圍，卻指出了z=f（x，y）在點P（x0，y0）可微的充分條件.

三、結合例子分析條件

例1 考察函數z=f（x，y）=xyx2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0，在點（0，0）處的情形.

解析 點P（x，y）沿y=kx軸趨向（0，0）時，

lim（x，y）→（0，0）y=kxxyx2+y2limx→0kx2x2+k2x2=k1+k2.

它隨k的值變化.此函數在（0，0）點連極限都不存在，當然談不到連續.

在點（0，0）處，

f′x（0，0）=limΔx→0f（0+Δx，0）-f（0，0）Δx=limΔx→00=0，

fy（0，0）=limΔy→0f（0，0+Δy）-f（0，0）Δy=limΔx→00=0，

f（x，y）在（0，0）處的兩個偏導數存在.

不滿足定理1，但滿足定理2，因而不可微.

如果從定理3方面考慮，則

當（x，y）≠（0，0）時，用偏導數的求導公式，有

f′x（x，y）=（x）′xyx2+y2+xyx2+y2′x=yx2+y2-2x2y（x2+y2）2=y（y2-x2）（x2+y2）2，

f′y（x，y）=（y）′yxx2+y2+yxx2+y2′y=xx2+y2-2xy2（x2+y2）2=x（x2-y2）（x2+y2）2.

于是f′x（x，y）=y（y2-x2）（x2+y2）2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0，

f′y（x，y）=x（x2-y2）（x2+y2）2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0.

可知f′x（x，y），f′y（x，y）在（0，0）不連續，則z=f（x，y）是點不滿足定理3的充分條件.

是否可以認為二元函數z=f（x，y）在點P（x0，y0）不滿足定理3的條件時，一定不可微？

事實上，在（0，0）處給自變量增量（Δx，Δy）（Δx≠0，Δy≠0）時，有

Δz-（f′x（0，0）Δx+fy（0，0）Δ）=ΔxΔy（Δx）2+（Δy）2.

當Δx=Δy>0 時，有ΔxΔy（Δx）2+（Δy）2=12，則ΔxΔy（Δx）2+（Δy）2不是關于ρ=（Δx）2+（Δy）2的高階無窮小. 于是所給函數在（0，0）不可微.

例2 考察f（x，y）=（x2+y2）sin1x2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0.在（0，0）的情形.

解析 lim（x，y）→（0，0）（x2+y2）sin1x2+y2=0=f（0，0），故所給函數在點（0，0）連續.滿足定理1.

f′x（0，0）=limΔx→0f（0+Δx，0）-f（0，0）Δx=limΔx→0Δxsin1（Δx）2=0=0.

當x2+y2≠0時，

f′x（x，y）=2xsin1x2+y2-2xx2+y2cos1x2+y2.

而lim（x，y）→（0，0）2xsin1x2+y2=0，lim（x，y）→（0，0）2xx2+y2cos1x2+y2不存在，從而f′x（x，y）在（0，0）不連續.同理f′y（x，y）在（0，0）不連續.不滿足定理3的充分條件.

但所給函數在點（0，0）可微.事實上

f′y（0，0）=limΔy→0f（0，0+Δy）-f（0，0）Δy=limΔx→00=0，

limρ→0Δf-（f′x（0，0）Δx+f′y（0，0）Δy）ρ=limρ→0ρ2sin1ρ2ρ=limρ→0ρsin1ρ2=0，

即f（0+Δx，0+Δy）-f（0，0）=f′x（0，0）Δx+f′y（0，0）Δy+o（ρ），則此函數在點（0，0）可微.

這時滿足的是定義，或者說是另外的充分條件.

使一個事實成立的充分條件有時有幾個，只要滿足其中的一個即可.

【參考文獻】

[1]數學分析 （第二版）華東師范大學數學系編 高等教育出版社出版.

[2]數學分析 （第四版）華東師范大學數學系編 高等教育出版社出版.