淺談Fabonacci的通項公式

宋鹿鳴

【摘要】斐波那契數列自問世以來，不斷彰顯出它的數學魅力.現在，斐波那契數列幾乎滲透到數學 的每一個分支中.本文從斐波那契數列的遞推公式出發，介紹了斐波那契數列的通項公式，同時利用高等代數中的特征方程、矩陣的相關知識，解答斐波那契數列的通項公式的相關問題.

【關鍵詞】Fabonacci數列；通項公式

1.Fabonacci數列的產生

Fabonacci數列是Fabonacci于1202年所著的《珠算原理》中的“生兔子問題”產生的.設定兩初生的兔子一個月后成熟并開始繁殖，而一對兔子每個月會生產兩只兔子.問：一對初生兔子按此規律進行繁殖，12個月后會有多少對兔子？按照這個規律寫出的數列稱為斐波那契數列（Fabonacci），通常記為Fn，數列中的每一項稱為斐波那契數，按照生兔子問題得到Fn的遞推公式F1=1，F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2.

2.Fabonacci數列的通項公式

Fabonacci數列產生后的三百年里，如何求出他的通項公式這個問題一直困擾著數學家們，直到16世紀，數學家比內（Binet）用第二數學歸納法推出：

Fn=155+12n-5-12n n∈N，n≥1.

我們可以利用相關的高等代數的知識來推出Fabonacci數列的通項公式.

2.1 特征方程推導法

由Fabonacci數列的遞推公式，得到對應的特征方程x2=x+1，即x2-x-1=0.

解方程，求出其特征根為x1=1+52，x2=1-52.

Fn=C11+52n+C21-52n（其中C1，C2為常數）

由初始條件，F1=F2=1，

代入得C11+52+C21-52=1，C11+522+C21-522=1.

解得，C1=15，C2=-15.于是，

Fn=151+52n-1-52n，n≥1，n∈N.

2.2相似矩陣推導法

取Fn數列中的相鄰兩項組成數組αn=Fn-1，Fn，組成序列α1，α2，…，αn.

于是，αn=FnFn-1=Fn-1+Fn-2Fn-1=1110Fn-1Fn-2=

1110Fn-2+Fn-3Fn-3=11101110Fn-2Fn-3=

11101110Fn-3+Fn-4Fn-3=

111011101110Fn-3Fn-4=……=

1110n-2F2F1=1110n-211.

令A=1110，則 αn=FnFn-1=An-2·α2=An-2·11.

要想求Fn，首先要先求出An-2，我們可以利用矩陣的相似性理論，求出An-2.

λE-A=λ1001-1110=λ00λ-1110=λ-1-1-1λ.

A的特征多項式PA=λE-A=λλ-1-1=λ2-λ-1，令PA=0，有λ1=1+52，λ2=1-52.于是，有特征向量X1=λ11，X2=λ21.

以X1，X2為兩列組成可逆方陣P=X1X2=λ1λ211，則A=Pλ100λ2P-1.

P-1=1P·P =1λ1-λ21-λ2-1λ1（P為P的伴隨陣）

An-2=Pλ100λ2P-1n-2=Pλn-2100λn-22P-1

于是，αn=FnFn-1=An-211=Pλn-2100λn-22P-111

=λ1λ211λn-2100λn-221λ1-λ21-λ2-1λ111

=λn-11λn-12λn-21λn-221-λ2-1λ1111λ1-λ2

=λn-11-λn-12-λn-11λ2+λ1λn-12λn-21-λn-22-λn-21λ2+λ1λn-22111λ1-λ2

=λn-111-λ2+λn-12λ1-1λn-211-λ2+λn-22λ1-11λ1-λ2

=λn1-λn2λn-11-λn-121λ1-λ2

所以，有

Fn=151+52n-1-52n ，n≥1，n∈N.

3.總 結

從上面的推導過程中，我們可以發現斐波那契數列揭示了一個非常有趣的事實，那就是用“無理數”來表示“有理數列”的通項公式，正好與用“有理數的無窮級數”來表示無理數恰恰相反，這也是斐波那契數列的通項公式很難求出的原因.本文另辟蹊徑，通過特征方程的推導法和相似矩陣的推導法來求解斐波那契數列的通項公式，給讀者以啟示.

【參考文獻】

[1]吳振奎.斐波那契數列[M].沈陽：遼寧教育出版社.1987.

[2]宋廷武.用特征方程推到斐波那契數列的通項公式[J].安慶師范學院學報：自然科學版，2010，29（4）：91-93.