分數布朗運動驅動的隨機泛函微分方程mild解的穩定性

歐陽通

【摘要】本文考慮一類由分數布朗運動驅動下的隨機時滯泛函微分方程，利用不動點理論研究方程mild解均方指數穩定性.

【關鍵詞】不動點； 指數穩定； 隨機微分方程

0.引 言

近年來，對分數布朗運動驅動的隨機微分方程mild解的研究日趨活躍.本文研究f（t，0，0）=0時分數布朗運動驅動的隨機時滯泛函微分方程

dx（t）=（Ax（t）+f（t，x（t），xt））dt+g（t）dBQH（t）， t∈[0，T]，x（t） =φ（t），-r≤t≤0，（1）

mild解存在唯一性及均方指數穩定性問題.

1.相關概念及主要結果

設{Ω，F，P}是完備的概率空間，具有通常條件的流{Ft}t≥0.記（U，|·|u，〈·〉U）（V，|·|v，<·>v）是可分的Hilbert空間，L（V，U）表示所有V到U的有界線性算子空間，Q∈L（V，V）是一個非負自伴算子，L0Q（V，U）表示所有ξ∈L（V，U）滿足ξQ12是一個Hilbert-Schmidt算子的空間.

引理A[1]對任φ：[0，T]→L0Q（V，U）滿足∑∞n=1‖φQ12en‖LH1（[O，T]；U）<∞

，其中en是標準正交基，則對任α，β∈[O，T]，α>β，若∑∞n=1||φQ12en||U一致收斂，則E∫t0φ（s）dBQH（s）2U≤cH（2H-1）t2H-1∫t0φ（s）|2LQO（V，U）ds

（1.1）.

定義1 若x∈c（-r，T；L2（Ω，U）），當t∈[-r，0]，x（t）=φ（t）；當t∈[0，T]，x（t）=S（t）φ（0）+∫t0S（t-s）f（s，x（s），xs）ds+∫t0S（t-s）g（s）dBHQ（s），則U-值過程x（t）叫做方程（1）的mild解.

為解決穩定性問題，假設下列條件成立：

（H1）S（·） 是強連續半群，A為其無窮小算子.設S（t）U≤Me-λt，M，λ>0，t≥0.

（H2）xt（s）=x（t+s），s∈[-r，0]，對任x，y∈c（-r，T；L2（Ω，U）），t∈[0，T]，存在一個常數cb>0滿足：|f（t，x（t），xt）-f（t，y（t），yt）|2U≤cb（|x（t）-y（t）|2U+|xt-yt|2U）.

（H3） 函數g（t）：[0，T]→L0Q（V，U）滿足引理A中條件，且∫∞0eλsg（s）2L0Q（V，U）<∞.

定理1若（H1）- （H3）成立，且η=Mλ2cb<1，則方程（1）存在唯一均方穩定mild解.

2. 定理1的證明

證明 S表示所有F-適應過程（t，w）：[-r，∞）×Ω→ R的Banach空間，對固定點w∈Ω，（t，w）關于t幾乎處處連續的.此外，（s，w）=φ（s），s∈[-r，0]；t→∞，eαtE（t，w）2U→0，其中0<α<λ，不妨令λ=α+β.且‖‖s=supt≥-rE（s，w）2.

定義映射π：（πx）（t）=φ（t），t∈[-r，0]；

（πx）（t）=s（t）φ（0）+∫t0s（t-s）f（s，x（s），xs）ds+∫t0s（t-s）g（s）dBQH（s）=∑3i-1Ii（t），t≥0. （2.1）

先證均方連續性.設x∈S，t≥0且θ充分小，則E|（πx）（t1+θ）-（πx）（t1）|2U≤3∑3i=1E|Ii（t1+θ）-Ii（t1）|2U

.

顯然，i=1，2，有E|Ii（t1+θ）-Ii（t1）|2U→0.此外，由（1.1）容易得到

E|I3（t1+θ）-I3（t1）|2U→0.

因此連續性成立.下面證明π（S）S.由（2.1）有

eatE|（πX）（t）|2U≤3eatE|s（t）φ（0）|2U+3eatE∫0ts（t-s）f（s，x（s），xs）ds2U+3eatE∫0ts（t-s）g（s）dBQH（s）2U.（2.2）

當t→∞時，估算（2.2）式右邊的三項：

3eatE|s（t）φ（0）|2U≤3M2e-（2λ-α）t‖φ（0）‖→0.

由赫爾德不等式、條件（H1）-（H3）及λ=α+β，得

3eαtE∫t0S（t-s）f（s，x（s），xs）ds2U→0

3eαtE∫t0S（t-s）g（s）dBHQ（s）2U→0

.從上式可知π（S）S.最后我們證明映射π是壓縮的.對x，y∈S有

Esups∈[0，T]（πx）（s）-（πy）（s）2u≤2M2cbλ2sups∈[0，T]Ex（s）-y（s）2u

.故當η=Mλ2cb<1時，π是壓縮映射.由壓縮映射原理，π在空間S上有唯一的不動點x（t），x（t）是方程（1）的解，并且當t→∞，eαtEx（t）2U→0.證畢.