球冪定理

謝兆帥

球冪的定義：一點P對半徑為R的球O的冪為：OP2-R2 ，即：（點P與球O的球心點0的距離的平方）與（球的半徑平方）的差.

證明：

點A，B，C，D，E，F(xiàn)共球（1）設(shè)點P為球O內(nèi)一點 ，過點P作直線分別交球于A，B，C，D，E，F(xiàn)…….則面ABCD，面ABEF，面CDEF，……分別與球O相交，且相交線為一個圓.

因為面ABCD交球O得一個圓.

根據(jù)相交弦定理得：PA

PD因為面ABEF交球O得一個圓.

根據(jù)相交弦定理得：PA

PB=PE

PF.

因為面CDEF交球O得一個圓.

根據(jù)相交弦定理得：

PC

PD=PE

PF.

自點P引直線過球心點0，交球于點G，H，令PH>PG，

則：PH=OP+R，PG=R-OP.

因為面ABGH交球O得一個圓，根據(jù)相交弦定理得，

PA

PB=PH

PG=（R+OP）（R-OP）=R2-OP2.

因為點P在球內(nèi)所以R>OP，即R2-OP2>0.

即PA

PB=PC

PD=PE

PF=PG

PF=…=R2-OP2.

也就是說在球內(nèi)的一點引一條直線與球相交于兩點.這點與球兩個交點線段的長度的乘積為一定值.大小為（球半徑的平方）與（該點與球心距離的平方）的差.

（2）設(shè)點P在球上.則OP=R，

OP2-R2=0，根據(jù)球冪定義，恒為零.

（3）設(shè)點P在球外.自點P引切線交球O于T，

自點P引割線交球O于A1B1，C1D1，E1F1…….

因為直線PT與球O相切

（點T，A1，B1，C1，D1，E1，F(xiàn)1共球）所以：

直線PT與（球O與面PTA1B1相交的圓）相切.

直線PT與（球O與面PTC1D1相交的圓）相切.

直線PT與（球O與面PTE1F1相交的圓）相切.

根據(jù)切割線定理，得：

PT2=PA1·PB1，PT2=PC1·PD1，PT2=PE1·PF1，

自點P引直線過球心點0，交球于點G1，H1，設(shè)PH>PG，則PH1=R+OP，PG1=OP-R.

根據(jù)切割線定理，則PT2=PH·PG=OP2-R2，

因為點P在球外，則OP>R

即OP2-R2>0.

（4）點P在球O的外部，自點引割線交球O于點A2B2，C2D2，E2F2…….

因為任意平面與球相交的曲線都是圓.

所以面A2B2C2D2 交球O的曲線是圓.

面A2B2E2F2 交球O的曲線是圓.

面C2D2E2F2 交球O的曲線是圓.

（點A2B2C2D2E2F2共球）

根據(jù)割線定理，則

PA2·PB2=PC2·PD2 PA2·PB2=PE2·P2F PC2·PD2=PE2·PF…….

自點P引直線過球心，交球于點G2，H2.設(shè)PH2>PG2，

則PH2=OP+R，PG2=OP-R.

因為面A2B2G2H2交球O的曲線是圓，則根據(jù)割線定理

PA2·PB2=PG2·PH2=OP2-R2.

因為點P在球外，則OP>R，即OP2-R2>0.

根據(jù)（1）（2）（3）（4）得，在三維空間中，空間中的一點，與球的球心的距離，（設(shè)為d）（設(shè)球的半徑為R），自該點任意引直線交球于兩點.

則該點與兩交點的距離乘積恒為定值.大小為（d2-R2）.

圓冪定理是球冪定理，在一個平面中的特例.

若該點在球內(nèi)，則該點的球冪為負(fù).

在球上，恒為零.

在球外，球冪為正.

球冪定理將圓冪定理中的相交弦定理，切割線定理，割線定理都推廣到三維空間，在本質(zhì)上，揭示了點與球（點與球相交線段）的關(guān)系，把平面幾何與立體幾何完美的統(tǒng)一在一起.