費馬猜想的初等證明費馬猜想的初等證明

暢飛

【摘要】根據費馬猜想等式Xn+Yn=Zn成立時X，Y，Z三整數奇偶性的要求，對其中的兩數進行一個對稱性的設值（如X=a-d，Z=a+d），根據二項式定理展開其N次方，合并同類項，研究發現，除n=1及n=2外，合并后多項式的內在特征性使其不能表示為某一整數的N次方，繼而證明，當整數n>2時，Xn+Yn=Zn無正整數解，從而提出了一種費馬猜想的初等數學證明方法，提示對于費馬猜想來說，可能確實存在一種費馬當年“巧妙的證明方法”.

【關鍵詞】費馬猜想；二項式定理；初等數學

三百多年前，法國數學家費馬提出：當整數n>2時，Xn+Yn=Zn無正整數解，其中xyz≠0，這就是著名的費馬猜想[1]，該問題從提出到1994年被英國數學家安德魯·懷爾斯解決，整整歷時358年.一代又一代數學家和數學愛好者為此付出過艱辛的努力.有趣的是，三百多年前，費馬本人在一本書的旁邊寫到：“我已發現了一種巧妙的證法，可惜這里空白太小，寫不下[2]”，由于懷爾斯的數學證明足足有600多頁，今天幾乎所有數學家都認為費馬當年并沒有證明費馬猜想.不過筆者認為，數學家是嚴謹的，一貫秉承實事求是的科學精神，尤其是對于費馬這樣的大數學家來說，完全沒有必要也不可能去記錄自己沒有證明的數學方法或靈感.根據費馬之后300多年的數學發展史分析，有一點可以肯定的是，費馬的“巧妙證法”應該是一種初等數學的證明方法，唯有此，才有可能是一頁書的旁白不能寫下，而不是需要一整本書才能寫下.在這種思維指導下，筆者發現了如下的費馬猜想證明方法，不敢說就是費馬的證明方法，至少是一種探索吧，供大家參考.

費馬猜想：

當n>2時，Xn+Yn=Zn無正整數解，其中xyz≠0.

證明：對于X，Y，Z的奇偶性要求，若要等式成立，考慮以下兩種情況：

1.奇（Xn） +偶（Yn）=奇（Zn），

2.奇（Xn） +奇（Yn）=偶（Zn）.下面就情況1作講解：

設X=a-d，Z=a+d，由X、Z的奇數性可知，a和d必一奇一偶.得出：（a-d）n+ Yn=（a+d）n.

根據二項式定理[3]：（a+d） n=∑nk=0Cknan-kdk展開上式：

C0nan-0d0

C1nan-1d1

C2nan-2d2

C3nan-3d3……+Yn=Zn=

C0nan-0d0

C1nan-1d1

C2nan-2d2+C3nan-3d3……

合并同類項后有：

Yn=2（C1nan-1d1+C3nan-3d3+……），

為保證等式A的右邊是一整數的n次方，首先須提取公因式andn，有：

Yn=2andn（C1nadn-1

+C3na3dn-3+……） （等式A）

初步討論n的自然數取值，了解Yn的一般規律和使Y有整數解的內在要求.

1.當n=1時，Y1=2ada=2d，顯然成立.

2.當n=2時，Y2=2a2d2·2ad=2·2ad，Y=2

，只要a乘d為平方數時，Y即可為整數.

3.當n=3時，Y3=2a3d3（3ad2+1a3），只要a>1，d>1，括號內分數多項式和為分數，而要整個Y3有23因子，必須使括號內的分數多項式的和等于22，此種情況僅有當a=d=1時才成立，而此時和a與d一奇一偶矛盾，且導致X=0，與費馬猜想的題設矛盾，故n=3時，費馬等式無正整數解.

不失一般性，當n>2時（n=3，4，5，6，7，8……），

由于有組合公式：C1n+C3n+C5n……=2n-1，因此

研究等式A的多項式組合特征，發現當且僅當a=d=1時，

等式A中Yn=2andn（C1n+C3n+C5n……）=2andn*2n-1=（2ad）n，

此時，Yn才為完全n次方數，Y才能為正整數.但此時X=a-d=0，與題設X，Y，Z任一不為0矛盾.（情況2的證明同情況1）

綜合以上可知：當n>2時，Xn+Yn=Zn無正整數解.

【參考文獻】

[1].埃伯哈德·蔡德勒[德]等.數學指南[M].北京：科學出版社，2012.806，826.

[2]西蒙·辛格.費馬大定理—一個困惑了世間智者358年的謎[M].上海：上海譯文出版社，2005.

[3].埃伯哈德·蔡德勒[德]等.數學指南[M].北京：科學出版社，2012.29.