抓住問題本質 還原向量色彩

顧紅俏

【摘要】在教學中，筆者發現一個奇怪的問題，部分學生用法向量求二面角大小時不能準確判斷法向量夾角與二面角大小的關系.為此，本文就向量法求二面角大小的教學提出解題策略和教學思考.

【關鍵詞】二面角；法向量；法向量夾角；里面；外面

一、意料之外

在高二年級立體幾何教學中，筆者給學生布置了一道作業題：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD1-B1大小.本以為一道平常的二面角求解問題，可是筆者所教的兩個班級中竟然有三分之一學生出錯，這讓我感到非常驚訝，問題到底出現在哪里呢？

二、抓住問題本質

使用幾何法的學生，多數學生的計算結果是正確的；可是用法向量求二面角大小的學生，多數計算結果是錯誤的.因此，筆者決定在作業講評時把向量法求二面角大小作為重點.

不妨了解一下學生用向量法解題的過程（多媒體展示）.

解 建立空間直角坐標系D-xyz公式

三、還原向量色彩

圖 11.認清向量相對于平面的方向

如圖1，在空間直角坐標系O-xyz中，向量n=0，0，1是平面xOy法向量，方向向上，向量n=0，0，-1方向向下.

若n=1，2，3是平面ABC的法向量，那么該向量的方向怎樣確定呢？其實在三個軸上的非零分量看哪一個都可以，在x軸（y軸，z軸）上的分量大于0（小于0）時，向量方向指向x軸（y軸，z軸）正向（負向）方向.

2.弄清法向量在二面角中的方向

我們知道，二面角范圍是[0°，180°]，設平面α，β的法向量分別為n1，n2，法向量與二面角的空間位置存在四種形式（如圖2，圖3，圖4，圖5），筆者給它們分別取名字，圖2中的兩個法向量都指向二面角的里面；圖3中的兩個法向量都指向二面角的外面；圖4中的法向量n1指向二面角的里面，法向量n2指向二面角的外面；圖5中的法向量n1指向二面角的外面，法向量n2指向二面角的里面.

3.確定二面角大小與法向量夾角的關系（師生共同討論，證明）

定理1 若二面角的法向量都向二面角里面，則二面角大小與法向量夾角互補.

圖 6已知：如圖6，二面角α-l-β，設其大小為θ，α，β的

法向量分別為n1，n2，且都向二面角里面.

求證：θ+=180°.

證明：如圖6，設法向量n1與n2相交于點P，

n1與n2所在直線與平面α，β分別相交于點A，B，l∩平面PAB=C.則l⊥AC，l⊥BC，

所以∠ACB為二面角α-l-β的平面角.在平面四邊形PACB中，

∠PAC+∠PBC=180°.所以∠ACB+∠APB=180°，故θ+