高考數學試題分析及思考探究

李功慧

【摘要】“注重通性通法，淡化解題技巧”是數學《大綱》中一貫堅持的口號，而且每年的高考試卷都體現了這一思想，所以在復習的過程中，僅僅有知識的累積還遠遠不夠，還要注意歸納方法、類比總結數學思想、掌握常見的通用的解題方法，才能在瑣碎的知識點間做到游刃有余、化腐朽為神奇.

【關鍵詞】向量數量積；代數形式；幾何形式

在高三的復習中，我們要在瑣碎、繁雜的知識點間做到胸有成竹、游刃有余，就要注重歸納和整理.這時候，一題多解固然必要，但是多題一法卻顯得尤為重要和具有普遍意義.“通性”就是概念所反映的數學基本性質；“通法”就是概念所蘊含的思想方法，針對某一類題型所用的一貫套路進行求解.下面我想針對向量數量積具體題目，談談重視什么才是追求數學教學的“長期效益”？

圖 1例1 （2013年陜西寶雞第三次模擬）a=（0，1），b=（1，0）且（a-c）·（b-c）=0，則c的最大值是.

設c=（x，y），則a-c=（-x，1-y），b-c=（1-x，-y）

由已知（a-c）·（b-c）=0，所以得：（-x）（1-x）+（-y）（1-y）=0，

整理得：x-122+y-122=12，所以如圖1：

c=（x，y）的起點為原點O，終點在圓x-122+y-122=12上運動，

所以c≤ 12-02+12-02+22=2.

評注 幾何解法中抓住向量數量積的坐標運算，構造出以圓為背景的圖形，將向量模的最值問題轉化為圓上的點到坐標原點的距離的最大（?。┲档膯栴}，把向量問題幾何化，解法直觀明了，但學生對轉化和化歸思想顯得有些力所不及.代數方法用到了向量數量積的意義，數量積不等式，解一元二次不等式等知識，而這幾部分知識都是高中數學課程中的基本概念與運算，學生易于掌握和按部就班地做下去.

變式1 （2009年全國高考題）已知a=b=c=1，a·b=0，則a-c·b-c的最小值為（ ）

A.-2 B.2-2 C.-1 D.1-2

幾何解法 由已知設OA=a，OB=b，OC=c，因為a=b=c=1，a·b=0，

圖 2所以如圖2，A，B，C三點均在單位圓上，而且OA⊥OB，不妨設A，B兩點分別在x軸和y軸上，當點C在劣弧AB上時，易知

∠ACB=135°，

a-c·b-c=ACBCcos135°=-22ACBC.

在△ABC中由余弦定理，得

AB2=AC2+BC2-2ACBCcos135°，即AC2+BC2+2ACBC=2，

所以，2≥2ACBC+2ACBCACBC≤2-2，

當點C在優弧上時，∠ACB=45°，

a-c·b-c=ACBCcos45°=22ACBC.

顯然此時a-c·b-c的值是大于零的.

綜上，a-c·b-c=-22ACBC≥-22×2-2=1-2，

故選D.

代數解法 a-c·b-c=a·b-a·c-c·b+c2

因為a=b=c=1，a·b=0，所以a+b=1.

a-c·b-c=-c·（a+b）+1=-c·a+bcos（c，a+b）+1≤-1×2+1=1-2.

故選D.

評注 例1是已知數量積和垂直關系，求模的最大值，而變式1則是已知垂直和模，求數量積的最小值.題目都是從數量積，向量垂直和向量的模出發，結合數量積的幾何意義考查學生應用知識的能力，但針對本題而言，幾何解法用到了余弦定理、基本不等式等基本解題思路，而且用到了化歸思想和分類思想，這使得該題給同學們一種“小題大做”的感覺；而代數解法從數量積的定義出發，結合一個角的余弦值最大為1，就輕而易舉的解出了本題.通性通法在這里發揮了它的“神奇”作用.