品高考三視圖考題 談空間思維能力培養

孫世林

【摘要】新課標將立體幾何的內容由原來的“以位置關系為主線、從局部到整體到展開圖”，變為“以圖形特征為主線，從整體到局部”，這一變化中最突出的是增加了三視圖.三視圖從三個不同的視角描述了空間幾何體的結構，學習三視圖可以更好地發展學生的空間思維，培養學生的空間想象能力，并在幾何直觀的基礎上，初步形成對空間圖形的邏輯推理能力，但三視圖不能全面反映空間幾何體的所有信息.

【關鍵詞】高考；三視圖；空間思維

那么如何才能幫助學生透徹地理解并準確地解決三視圖問題，又如何通過三視圖問題發展學生的空間思維能力，下面談談自己的一些認識：

1.品三視圖的概念，在正確理解投影中全面認識三視圖

三視圖是光線從幾何體的前面向后面、左面向右面、上面向下面三個方向的正投影，得到的三個平面圖形.對于投影，學生有從日常生活得到的直接經驗，易于接受但不嚴謹，可以借助物理光學的知識去理解.所以，只有準確科學地理解了投影的概念才能把握三視圖的本質.實質上投影線和投影面是“線面垂直關系”，點、線、面、體在投影面上的投影圖都可以歸結為“點到平面上的投影（或射影）”.

例1 （2014年北京高考理科）在空間直角坐標系oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，2）；若S1，S2，S3分別表示三棱錐D-ABC在xOy，yOz，zOx坐標平面上的正投影圖形的面積，則（ ）.

A.S1=S2=S3 B.S1=S2且 S3≠S2

C.S1=S3且 S3≠S2D.S2=S3且 S1≠S3

解析 本題主要考查空間直角坐標系與空間幾何體的正投影的概念和畫法，考查空間想象能力和基本運算能力；一般而言，在多面體內部構造投影面，通過該投影面和已知條件觀察幾何體的視圖往往可以將問題化繁為簡.

圖 1對于本題，首先，根據坐標在空間直角坐標系中作出三棱錐D-ABC，作出三棱錐在三個坐標平面的正投影，如圖所示1，△ABC為三棱錐在坐標平面xOy平面上的正投影，

所以S1=12×2×2=2；

三棱錐在坐標平面yoz上的正投影與ΔDEF（E，F分別為OA，BC的中點）全等，所以S2=12×2×2=2；三棱錐在坐標平面xOz上的正投影與ΔDGH（G，H分別為AB，OC的中點）全等，所以，S2=12×2×2=2；所以，S2=S3且 S1≠S3，所以選D.

例2 （2008年廣東高考理科）

將正三棱柱截去三個角（如圖2所示，A，B，C

分別是ΔGHI三邊的中點）得到幾何體如圖3，

則該幾何體按圖3所示方向的側視圖（或稱左視圖）為（ ）.

圖 2 圖3

解析 本題考查學生的空間想象能力，由于三視圖中的投影是平行投影，解題時可以想象在幾何體的正前方、右方和下方各放一面墻，所以本題可在圖3的右邊放一面墻，又因為是正棱柱，且AE在平面DEHG中，所以在側視圖中，AE應為豎直的，便可得答案為A.

歸納：要想得到準確的三視圖就要搞清幾何體中的點、線、面在投影面中的投影是什么形狀，根據投影的概念，直線在投影面內的投影有可能是直線也可能是點，平面在投影面內的投影可能是平面也可能是直線，幾何體中的線面投影有如下規律：線段平行于投影面時投影長不變，平面（圖形）平行于投影面，它的投影形狀不變；線段垂直于投影面，它的投影成一個點；平面（圖形）垂直于投影面，它的投影為線段；線段傾斜于投影面，它的投影長變短；平面（圖形）傾斜于投影面.它的投影根據傾斜程度而改變.

2.品三視圖的生成，在轉化中培養并發展空間想象能力

空間幾何體的三視圖是用物體的三個正投影來描述空間幾何體結構的平面圖形，在由幾何體向三視圖的轉化中，要用想象去“透視”物體，要能“看見”幾何體內部看得見和看不見的部分（虛線表示），看得見的輪廓線或棱用實線表示，看不見的輪廓或棱用虛線表示，通過比較概括動手畫出三視圖，其規律是：“長對正，高平齊，寬相等”.

例3 （2012年陜西高考理科）將正方體（如圖4）截去兩個三棱錐，得到圖5所示的幾何體，則該幾何體的左視圖是（ ）.

圖 4

圖 5

解析 如圖7的幾何體可還原成如圖6的正方體，其左視圖就是向正方體的右側面BCC1B1作投影，過D1，D，A三點向平面BCC1B1作垂線，D1A的射影為C1B，且為實線，B1C被遮擋應為虛線，又平面ABB1的投影為BB1，平面DCD1的投影為CC1，所以選B.

圖 6

例4 （2010年北京高考理科）

一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體

的正（主）視圖與側（左）視圖分別如圖所示，

則該幾何體的俯視圖為（ ）.

解析 本題是由三視圖的正視圖、左視圖得到幾何體，再由幾何體畫出幾何體的左視圖，解題的關鍵是要搞清觀察的方位與圖形的相對位置，通過正視圖、左視圖可知該長方體挖去了一個小長方體，

挖掉的小長方體從前方看是在觀測者的左上方，

從左向右看是在觀測者的右上方，所以該幾何體的直觀如圖8，因此，從上向下方看應該在

觀測者的左下方，所以選C.

圖 6

歸納：新課標要求學生能根據基本幾何體或實物模型進行三視圖描述，此類問題考查學生的空間想象能力和判斷推理能力，畫三視圖時要注重實物模型的作用，充分認清幾何體的本質屬性，要注意選擇適當的角度，運用好投影的知識和規律得到投影，要觀察好幾何體的特征，把握好投影是實線還是虛線，只有這樣才能由幾何體得到準確的三視圖.

3.品如何從三視圖回歸幾何體，在反思中形成對空間圖形的邏輯推理

一個幾何體的位置確定之后，它的三視圖是唯一的，但反過來，相同的三視圖可以對應不同的幾何體，由于不是一一對應，這就要求我們需要更深入地觀察和思考，避免思維的僵化和定式；在由幾何體的三視圖還原直觀圖時，應根據“長對正、高平齊、寬相等”的基本特征得到幾何體的長、寬、高，并由此對還原后的幾何體進行相關幾何量的計算，完成對空間圖形的邏輯推理.

圖 7例5 若某幾何體的三視圖（單位：cm）

如圖所示，則此幾何體的體積等于cm3.

解析 由正視圖可知該幾何體的正面為梯形，上底長為4，下底長為2+4+2=8，由俯視圖可知該幾何體的底面為矩形，寬為4，結合正視圖可知矩形的長為11，由側視圖可知該幾何體的側面為三角形，結合正視圖與俯視圖可知三角形的底邊長為4，由此，我們可還原三視圖得到如圖7所示的幾何體ABCDEF，

將它分割成一個直三棱柱EGI-FHJ和兩個完全相等的四棱錐E-AIGD與F-JBCH，由正視圖可知該四棱錐的高為3，由此可得該幾何體的體積

V=VEGI-FHJ+VE-AIGD+VF-JBCH

=12×4×3×4+2×13×2×4×3

=40（cm3）

另解 也可將幾何體分割成三棱住DAE-MNF和四棱錐F-BCMN，如圖8，

圖 8∴V=VDAE-MNF+VF-BCMN

=12×4×3×4+13×4×4×3=40（cm3）

歸納：研究幾何體的空間結構，包括研究幾何體的表面積、體積以及幾何體中線面平行關系和垂直關系，解決這類問題的關鍵是由三視圖正確還原幾何體，在由三視圖還原幾何體時：第一，要分析幾何體是不是組合體，如果是，由幾部分組成，每部分是什么幾何體，最終得到幾何體的結構特征；第二，要熟悉常見幾何體，如棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺和球的三視圖，特別是某些側面垂直于底面的棱錐的三視圖，只有熟悉了這些常見的幾何體的三視圖，才能在復雜的幾何題中發現它們并加以運用；第三，三視圖中的虛線是幾何體中存在的邊線，但在三視圖中并沒有投影出來，準確理解虛線與實線的區別，充分挖掘虛線所提供的信息，并準確運用“長對正、高平齊、寬相等”，實現對空間圖形的邏輯推理.

【參考文獻】

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