幾何坐標(biāo)法思想的啟悟

王華

【摘要】本文從笛卡爾的幾何坐標(biāo)法思想獲得啟悟，分析了幾何坐標(biāo)法的核心思想是建立一個(gè)合適的坐標(biāo)系，將所關(guān)心的幾何點(diǎn)用坐標(biāo)表示出來，再將坐標(biāo)用命題的幾何約束關(guān)系表示成代數(shù)的問題進(jìn)行求解，最后將代數(shù)問題的解還原為幾何問題的解.從若干幾何學(xué)問題的坐標(biāo)法求解過程演繹了這一方法的有效性.

【關(guān)鍵詞】幾何；代數(shù)；幾何坐標(biāo)法

1.笛卡爾的幾何坐標(biāo)法思想

笛卡爾（Descartes，1596-1650），法國人，偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、生理學(xué)家，解析幾何的創(chuàng)始人.他在主要著作《方法論》的附錄之一《幾何學(xué)》中提出了關(guān)于解析幾何和代數(shù)的思想，其核心是：先把歐幾里得幾何學(xué)問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，然后用代數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行計(jì)算、證明，從而達(dá)到最終解決幾何問題的目的.1637年，笛卡爾發(fā)表了《幾何學(xué)》，創(chuàng)立了平面直角坐標(biāo)系，創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，其主要思想為：

（1）在幾何學(xué)中引入坐標(biāo)系：笛卡爾從天文和地理的經(jīng)緯度出發(fā)，建立了平面上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)對（x，y）的一一對應(yīng)關(guān)系，創(chuàng)立了平面直角坐標(biāo)系，這一劃時(shí)代產(chǎn)物的出現(xiàn)使數(shù)量思維與空間思維完美地結(jié)合在一起，溝通了數(shù)學(xué)中的兩個(gè)基本研究對象“數(shù)”和“形”之間的聯(lián)系，研究的“數(shù)”是變數(shù)，研究的“形”是不規(guī)則的幾何形體；

（2）用方程表示曲線的思想：笛卡爾把相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成是平面上的一條曲線，用以描述具有某種性質(zhì)的點(diǎn)之間的內(nèi)在關(guān)系，笛卡爾說：“這種關(guān)系可用一個(gè)方程來表示”，這就是說可以用一個(gè)二元方程表示平面曲線，并根據(jù)方程的代數(shù)性質(zhì)來研究相應(yīng)曲線的幾何性質(zhì)；反之，可根據(jù)已知曲線的幾何性質(zhì)定義曲線的方程，并用幾何的觀點(diǎn)研究方程的代數(shù)性質(zhì).

笛卡爾幾何坐標(biāo)法思想對數(shù)學(xué)史上的巨大貢獻(xiàn)可用恩格斯下面的一段話來概括，即“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)；有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成了必要的了”.

由此可見，笛卡爾幾何坐標(biāo)法思想對人類科學(xué)思維的影響是何等巨大，為后人的學(xué)習(xí)和創(chuàng)新提供了寶貴的財(cái)富.時(shí)至今日，笛卡爾幾何坐標(biāo)法思想在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維意識、能力方面的影響是很大的，我們通過以下幾何學(xué)問題的坐標(biāo)法求解過程獲得的啟悟來說明這一點(diǎn).

2.幾何學(xué)問題的坐標(biāo)法求解

幾何坐標(biāo)法的核心思想是建立一個(gè)合適的坐標(biāo)系（這是幾何學(xué)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的橋梁），將所關(guān)心的幾何點(diǎn)用坐標(biāo)表示出來，再將坐標(biāo)用命題的幾何約束關(guān)系表示成代數(shù)的問題進(jìn)行求解，最后將代數(shù)問題的解還原為幾何問題的解.這是我們對笛卡爾幾何坐標(biāo)法思想的啟悟.

下面，通過若干幾何學(xué)問題的幾何坐標(biāo)法求解過程驗(yàn)證這一方法的有效性.

例1 已知直角三角形△ABC，∠ACB=90°，CE是角平分線，EF⊥BC，垂足為點(diǎn)F.

求證：1AC+1BC=1EF.

證明

（1）建立直角坐標(biāo)系

圖1 問題1在直角坐標(biāo)系中的描述根據(jù)幾何圖形的特性建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，a）、B（b，0），C（0，0），并且是確定的；同時(shí)，定義E點(diǎn)的坐標(biāo)為E（x，y），這樣幾何圖形上的點(diǎn)就與直角坐標(biāo)系有了一一對應(yīng).

（2）根據(jù)題意分析求解的思路

首先，幾何中的線段EF的長度在直角坐標(biāo)系中對應(yīng)點(diǎn)E的縱坐標(biāo)y， 線段AC的長度在直角坐標(biāo)系中對應(yīng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)a， 線段BC的長度在直角坐標(biāo)系中對應(yīng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)b，所要證明的幾何問題恰恰是直角坐標(biāo)系中的橫、縱坐標(biāo)之間的代數(shù)運(yùn)算關(guān)系，這是我們啟悟到的重要線索.從這一角度出發(fā)，可想而知，問題的焦點(diǎn)在于用怎樣的方法求出點(diǎn)E的坐標(biāo)？這引發(fā)出下面的問題.

（3）幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題

點(diǎn)E的坐標(biāo)是直線CE和直線AB兩條直線的交點(diǎn)，若能求出這兩條直線的方程，聯(lián)立求解即為所求，這兩條直線的方程如何獲得？

由于點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)已知，且分別在x軸和y軸上，顯然，直線AB的方程可用截距式列出

xb+ya=1 （1）.

由于CE是角平分線，∠ACB=90°，因此，直線CE的斜率為1，直線CE上的點(diǎn)C已知，故而直線CE的方程可用點(diǎn)斜式列出如下y=x （2）.

聯(lián)立式（1）、式（2），可得1y=1a+1b，即1AC+1BC=1EF.

例2 已知Rt△ABC，∠ACB=90°，CD⊥AB.

求證：1AC2+1BC2=1CD2.

證明

（1）建立直角坐標(biāo)系

設(shè)∠CAB=β，

則 AC=ABcosβ，

BC= ABsinβ，

AD=ACcosβ= ABcos2β，

CD= ACsinβ= ABcosβsinβ.

圖2 問題2在直角坐標(biāo)系中的描述

根據(jù)幾何圖形的特性建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)

分別為A（0，0）、B（b，0），C（bcos2β，bcosβsinβ）.

（2）幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題

AC2=b2cos2β，

BC2= b2sin2β，

CD2= b2cos2βsin2β，

則1AC2+1BC2=1b21cos2β+1sin2β=1b2cos2βsin2β=1CD2.

3.幾何坐標(biāo)法在物理學(xué)透鏡成像光路計(jì)算中的應(yīng)用

例3 已知物體AB垂直于凸透鏡的主軸，與主軸平行的光線AC經(jīng)過凸透鏡折射后通過焦點(diǎn)F2，光線AO通過凸透鏡中心O，穿過凸透鏡后方向不變，與光線CF2相交于A2點(diǎn)，A2B2是倒立于主軸上物體AB的像，物距OB=u，像距OB2=v，焦距OF2=OF1=f.

求證：1u+1v=1f.

證明

（2）建立直角坐標(biāo)系

已知OB=u，OB2=v，OF2=f.

設(shè)∠AOB=∠A2OB2=β .

根據(jù)題意建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則AB=utgβ，A2B2=vtgβ

點(diǎn)A，B，C，A2，B2的坐標(biāo)分別為A（-u，utgβ），B（-u，0），C（0，utgβ），A2（v，-vtgβ），B2（v，0）.

圖3 問題4在直角坐標(biāo)系中的描述

（2）根據(jù)題意分析求解的思路

參數(shù)u，v，f包含在二個(gè)相似△OF2C和△B2F2A2中，可用相似三角形對應(yīng)邊成比例的關(guān)系建立參數(shù)u、v、f的代數(shù)關(guān)系式，故根據(jù)△OF2C∽△B2F2A2，得

OCOF2=A2B2B2F2

即

utgβf=vtgβv-f，化簡，得

1u+1v=1f.

4.結(jié) 論

幾何坐標(biāo)法的核心思想是建立一個(gè)合適的坐標(biāo)系，將所關(guān)心的幾何點(diǎn)用坐標(biāo)通過建立坐標(biāo)系的方法對應(yīng)起來，對應(yīng)的坐標(biāo)在幾何約束條件下表示成代數(shù)方程進(jìn)行求解，這是我們對笛卡爾幾何坐標(biāo)法思想的啟悟.

[參考文獻(xiàn)]

[1]鄧鵬，康紀(jì)權(quán)，孫海. 初等幾何研究. 北京：高等教育出版社，2012.2.

[2]李中平. 平面幾何分類證明. 重慶：西南師范大學(xué)出版社， 2011.7.

[3]王憲昌. 數(shù)學(xué)思維方法. 北京：人民教育出版社，2010，3.