今年流行這種“減元”

周曉燕

【摘要】“減元”思想是一種非常重要的數學思想方法，對解決多變元問題非常有效，同時它又有很多種形式，所以運用非常靈活.本文中主要是通過x1x2減元，最后升華為x1-x2減元，問題層層推進，環環相扣，貫徹了“一題多變”的思想，從而訓練學生思維能力，培養學生思維素質.

【關鍵詞】減元；構造；變

說到“減元”思想，大家都非常熟悉.顧名思義，所謂“減元”，就是當題目中出現的變量元素較多的時候，我們會通過各種途徑來消去某些元，以簡化我們解題的過程.從廣義來講，降低變元的次數，減少變元出現的頻率等等，都可以看成是“減元”.

數學中有很多地方需要“減元”，“減元”思想在數學中的應用非常廣泛，比比皆是.在今年各地的高三模擬卷、綜合卷中，很多都出現了同一種“減元”方法，變成了同一個函數y=lnx-2（x-1）x+1.下面就這類問題舉例說明，以期拋磚引玉.

1.函數的特征

函數y=lnx-2（x-1）x+1，不是基本初等函數，也不是我們要求學生掌握的常見函數，所以，它并不起眼.但是，今年高三它出現的頻率非常高，學生也就自然而然地熟悉了.它的定義域為（0，+∞），對它求導可得y′=1x-4（x+1）2=x-12x（x+1）2，因為x>0，所以y′>0，所以函數在（0，+∞）上單調增.這是這個函數的特殊之處，也正是“減元”構造這個函數的關鍵之處.

2.奇妙的演變

曲線上的點滿足曲線方程，而函數零點就是對應方程的根.將模型稍作改變，就成了下面這一題.

例1 （2014.5南京模擬19）：已知函數f（x）=lnx-mx（m∈R），（1）若點P（1，-1）在曲線y=f（x）上，求曲線y=f（x）在點P處的切線方程；（2）求函數f（x）在區間1，e上的最大值；（3）若函數f（x）有兩個不同的零點x1，x2，求證：x1x2>e2.

解 （1）（2）略.（3）不妨設x1>x2>0，因為f（x1）=f（x2）=0，所以lnx1-mx1=0lnx2-mx2=0，所以lnx1+lnx2=m（x1+x2）lnx1-lnx2=m（x1-x2）.要證明x1x2>e2，即證lnx1+lnx2>2，即證m（x1+x2）>2，因為x1≠x2，即證lnx1-lnx2x1-x2（x1+x2）>2，即證lnx1-lnx2>2（x1-x2）x1+x2，即證ln（x1x2）>2x1x2-1x1x2+1.令u=x1x2>1，即證lnu>2（u-1）（u+1），u>1（），同上可證，（）成立.所以原題得證.

此題中，將函數的兩個零點轉化成方程的兩個不同的實根，然后通過兩式相加，兩式相減，分析法得到只要證式子lnx1-lnx2>2（x1-x2）x1+x2，眼熟的式子，特有的構造，原題輕松獲證.

3.適當的推廣

例2 設函數f（x）=alnx+bx（a>0），g（x）=x2，設G（x）=g（x）+2-f（x）有兩個零點x1，x2，且x1，x0，x2成等差數列，G′（x）是G（x）的導函數，求證：G′（x0）>0.

解 因為G（x）=x2+2-alnx-bx=0有兩個不等根x1，x2，所以x21+2-alnx1-bx1=0x22+2-alnx2-bx2=0，兩式相減得：

（x1+x2）（x1-x2）-a（lnx1-lnx2）-b（x1-x2）=0，

即（x1-x2）（x1+x2-b）=a（lnx1-lnx2）.因為x1，x0，x2成等差數列，所以2x0=x1+x2.

不妨設x1>x2>0，則

G′（x0）=2x0-ax0-b=（x1+x2）-2ax1+x2-b=a（lnx1-lnx2）x1-x2-2ax1+x2

=ax1-x2lnx1x2-2x1x2-1x1x2+1，同上可證，lnx1x2-2x1x2-1x1x2+1>0.又因為a>0，x1-x2>0，所以G′（x0）>0，所以原題得證.

新課程倡導“以學生為主體”，教師是組織者、引導者與合作者.對于同一類型的題目，若學生能夠將一題徹底弄清楚，然后自己探索、研究，對變題融會貫通，那就真正達到了新課程教學的目的.很多題，萬變不離其中，抓住題目根源，解題真的會有一種“豁然開朗”的感覺，那種成就感，真是妙哉！

數學題目靈活多變，很多題目往往既考查知識點，又考查數學思想方法，同時考查學生的各種能力，所以就成為了所謂的“難題”.但是，很多難題都是在常規題的基礎上變化而來的，仔細審題、認真分析、抓住本質，往往就會一擊而中.“減元”思想對于解決多變元的數學問題起著非常重要的作用，它可以使解題方向更加明確，使解題方法更加明朗，使學生思維更加明了，從而有效地提高解題的正確率.在教學中，我們要鼓勵學生創造性地去學習、探索和總結，從而以不變應萬變，使自己的解題能力更上一層樓.

【參考文獻】

[1].主編/嚴士健 張奠宙 王尚志.普通高中數學課程標準（實驗）解讀[M].南京：江蘇教育出版社，2004，6.