高中數(shù)學解題中向量方法的應用分析

劉爽

向量作為一種行之有效的數(shù)學教學工具，能夠幫助我們解決代數(shù)、幾何等學科領域中存在的問題，為數(shù)學教學增加了新的研究視角.同時，將向量法應用在數(shù)學教學的各類分支中，還可將問題簡單化、直接化.所以，在新課改教學背景下，應以不斷創(chuàng)新的思路來重新審視高中向量教學.在本文中，重點分析了向量教學法在高中幾何、三角函數(shù)等方面的應用.

一、高中數(shù)學教學中向量法應用過程中的必要性闡述

（一）向量法的應用有助于提高學生理解中學數(shù)學與現(xiàn)代數(shù)學之間聯(lián)系的能力

中學數(shù)學內(nèi)容作為現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展的基礎，涉及的多為常量數(shù)學和變量數(shù)學的基本知識，而向量的引入則是進一步完善了中學數(shù)學知識結構體系，以交匯點的形式存在，其綜合應用可幫助學生構造知識結構網(wǎng)，為中學數(shù)學和高等數(shù)學過渡奠定基礎.

（二）向量法的應用有助于提高學生處理，解決數(shù)學問題的能力

向量作為處理數(shù)學問題的有效工具，可以降低學生對空間形式的依賴性，規(guī)避思維結構誤區(qū)，縮減數(shù)學問題的推理過程.比方，通過使用向量法處理三角形問題及線性問題等.和傳統(tǒng)的處理方法相比，能夠非常直觀、簡便的找出解決問題的關鍵，提高教學效率.

（三）向量法的應用可以提高學生的思維擴散能力

培養(yǎng)學生的思維擴散能力是向量教學內(nèi)容的一大重點.在教授學生知識處理的過程中，要盡可能的將問題設計成能夠通過概括、想象、抽象、分析等方法解決的形式.這種方式能夠培養(yǎng)學生的自主性和思維延展性.如，大海中帆船航行過程中產(chǎn)生的位移，可以滲透數(shù)學建模的理論知識，通過進行圖示訓練和相等向量解題法的訓練，滲透平移變換思想，讓“形”和“數(shù)”結合在一起，形成數(shù)形橋梁.

二、數(shù)學解題中向量解題法的影響因素

（一）數(shù)學解題過程當中產(chǎn)生的影響因素

在數(shù)學解題過程中，產(chǎn)生的影響因素分為很多種，根據(jù)元認知規(guī)律的特點，可以將其進行歸納為下面幾種：

第一，經(jīng)驗原因.數(shù)學解題的經(jīng)驗主要表現(xiàn)為學生個體現(xiàn)存的知識結構體系、解題思路以及問題陳述形式等，其中還涉及學生的個人特點以及該問題產(chǎn)生的情境等原因.

第二，情感原因.情感在學生學習過程中起主導作用，如學生學習的愛好、意志力以及動機等，都會影響學生的解題興趣.

第三，認知原因.認知原因決定了學生剖析問題、解決問題的能力，涉及的多為智力因素.

（二）影響向量法解題的幾點因素

高中教師授課有兩種較為明顯的傾向，其一，部分教師不敢嘗試一些新的教學方法，通常會將一些利用向量很好解決的問題是用傳統(tǒng)幾何推理的方式來解決；其二，部分教師教學方法籠統(tǒng)，無具體的分類法，不根據(jù)實際情況進行方法的選擇.另外，向量法在高中命題中所占據(jù)的比重也是比較重要的影響因素之一.

三、高中數(shù)學解題中向量方式的利用論述

（一）向量法在三角函數(shù)解題過程中的使用方式

空間向量的學習有助于激發(fā)學生的創(chuàng)造性，發(fā)散思維，在數(shù)學三角函數(shù)解題過程中，空間向量法的使用可以將問題簡單化，使解題思路更加明了，進而降低解題難度.比如，證實cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

證明：假設（e1，e2）為平面中的標準正交基，a，b為平面上的單位向量，且a和e1的夾角是α，b與e2的夾角是β，而α>β.向量a在（e1，e2）出的坐標是（cosα，sinβ），向量b在（e1，e2）下的坐標是（cosβ，sinβ），則有a的絕對值等于b的絕對值等于1.

是以，a*b=|a|*|b|cos（α-β）=cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.由此我們可以得知，向量法應用于三角函數(shù)，可借用幾何圖形的直觀性來完成.

（二）向量法在平面幾何解題中的使用方式

一般來講，向量具有雙重性，它既有運算性又具有形的特點，部分幾何問題內(nèi)容比較抽象，而傳統(tǒng)的解題方法往往比較復雜，且直觀性差，很難幫助學生更好地解決問題，向量法中形和數(shù)的轉(zhuǎn)化特性，則能夠在很大程度上將問題簡單化.

例如向量法在求邊問題中的應用，設△ABC的內(nèi)角，A，B，C對應的邊長分別是a，b，c，且有2sinBcosA=sincosC+cosAsinC.

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）如果b=2，c=1，D是BC的重點，求AD的長度AD.

解析 （Ⅰ）略，A=π3.

（2）AB2=（AB+AC[]2）2=1[]4（AB2+AC2+2AB+AC）=7[]4，則，|AD|=7[]2，AD=7[]2.

由此可以得知，利用向量對幾何元素之間的關系進行詳細分析，可將問題進行轉(zhuǎn)化.

（三）向量法在處理不等式問題中的使用方式

合理使用向量法求解不等式問題，通常可以起到事半功倍的效果.在高中階段，求解不等式主要利用的是向量數(shù)量積的性質(zhì)，|a*b|≤|a|*|b|及其變形公式|a*b2|≤|a|2*|b|2.

例 求證：如果a，b，c，d是實數(shù)，那么（a2 +b2）（c2 +d2 ）≥（ac+bd）2當且僅當ad=bc的時候，等號成立.

證明 假設向量m=（a，b），n=（c，d），則|m|=a2+b2，|n|=c2+d2.mn=ac+bd且|m‖n|≥mn，當且僅當n為零向量，則存在實數(shù)k，能夠使m=kn時，等號成立.

向量法作為解決數(shù)學問題的有力工具之一，具有十分重要的現(xiàn)實意義，它突破了傳統(tǒng)的圖形推理性質(zhì)，有章可循，極大的提高了學生解題的正確性.但向量法并不適用于所有的數(shù)學難題，仍需與其他方法相輔而成.