例談整式乘除與因式分解學習的幾點問題

師慧玲　涂敏

【摘要】《整式的乘除與因式分解》這一章設在人教版初中數學教科書八年級上冊，這一學段的學生已具備了一定的知識經驗，有一定的發展空間.然而這一部分的學習卻存在許多問題.本文列舉了這一部分學習過程中存在的問題并分析原因，提出了一些改進建議，希望能為學生和教師的學習和教學注入一份靈感.

【關鍵詞】因式分解；整式乘除；問題

在學習《整式的乘除與因式分解》這一章之前，學生們已經通曉了整式的加法和減法，乘方這些知識，有了對整式加減法和乘方的了解，學生在掌握整式的乘除法則過程中才不至于措手不及，接下來學習因式分解時就更加得心應手.然而不管學習什么總會遇到問題.下面是這一章學習過程中的一些常見問題，我通過列舉一些題目來把這些問題清楚地闡述出來，并從我教學輔導積累的經驗中剖析這些問題，分析其原因，找到解決問題的方法供大家參考.

一、因式分解與化簡的混淆問題

學習到因式分解這部分，學生常會混淆“因式分解”和“化簡求值”這兩種題目，以至于每次遇到這種題目不知道哪種結果才是最簡的.請看以下兩道例題：

題目要求：將下列式子因式分解：（以下部分是學生的做法）

例1 m2n（m-n）2 -4mn（n-m）

=m2n（m2-2mn+n2）-（4mn2-4m2n）

=m4n-2m3n2+m2n3-4mn2+4m2n

例2 （x+y）2+64-16（x+y）

=x2+2xy+y2+64-16x-16y

=x2+y2+2xy-16x-16y+64

可以明顯地發現，學生普遍都犯了一個錯誤，在做因式分解題目時，學生按化簡題目來做，直接將式子進行整式的乘除得到一個不含括號的多項式，看似是最簡結果，不能再化簡了，須知這是一道因式分解的題目，而因式分解的概念是這樣說的：“把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解.”因式分解是從一個多項式到幾個整式的積，結果中含有括號，而且括號之間是乘法關系，而化簡實質就是整式的乘除，最后結果是一個不能再繼續化簡的多項式，有加減號連接，式子中沒有括號，沒有同類項.所以上面的例題1和2這樣解答才是正確的：

例1 m2n（m-n）2-4mn（n-m）

=mn2（n-m）2-4mn（n-m）

=mn（n-m）[n（n-m）-4]

=mn（n-m）（n2-nm-4）

例2 （x+y）2+64-16（x+y）

=（x+y-8）2

二、整式乘除中冪和乘方的運算問題

在學習整式的乘法與除法時，學生對同底數冪的乘法，冪的乘方，積的乘方，同底數冪的除法，總會出現混淆和各種各樣的錯誤，以至于在做整式乘除法的綜合題目時總會一招不慎，全盤皆輸.看下面學生們作出來的幾道例題：

例1

1.5y3·3y5=15y15 2.2x2·3x2=6x2

3.2x2+3x2=6x4 4.3a3·2a2=6a6

5.（a5）2=a7 6.（b2）3=b5

7.b6÷b2=b3 8.a3÷a=a3

很明顯，上幾道題都是錯誤的，首先在整式的乘除法中我們學習了兩個法則，am·an=am+n，am÷an=am-n.而第1，4，8題都犯了同樣的錯誤：遇到同底數冪相乘或相除的題目，學生普遍把指數相乘或相除而不是相加或相減.

其次，在整式的乘除法中，我們還學了一個法則，那就是（am）n=amn，而在做題中學生還是會用錯這個法則，錯法也是比比皆是.比如上面例題中的第5、6題，本應該把括號中的指數和括號外面的指數相乘求得積作為最后的指數，而這倆題中把括號里面和外面的兩個指數相加求得的和作為了最后的指數.這種錯誤是很常見的.

另外一個需要著重強調的是如何正確區分“x2·x2”和“x2+x2”，首先，“x2·x2”屬于同底數冪相乘，所以直接按照規則：am·an=am+n，可得x2·x2=x4.而“x2+x2”屬多項式相加，而且是兩個同類項，所以只需將這兩個同類項的系數相加，可得x2+x2=2x2.而例題中的第2、3小題犯的錯誤就是誤將同類項的系數相乘，指數相加或者把同底數冪相乘當做兩個同類項相加.

這些問題和學生對公式的由來了解不深，練習不多息息相關.

三、平方差和完全平方公式的記憶和靈活運用問題

在學習平方差公式和完全平方公式時，學生對公式的由來產生曲解，總會出現漏記.尤其是在記憶完全平方公式時學生們總會把中間的2ab漏掉，或者把加減號的變化弄錯.這是公式的記憶漏洞；另外就是在做題過程中很難熟練地看出這個式子是平方差公式還是完全平方公式，以至于在進行因式分解和化簡時，總是不能很快下手解決題目.這些問題與學生的知識掌握不扎實，練習不夠有關，更重要的就是學生的整體思想有待發展完善.

四、建 議

上面的三個大問題是《因式分解與整式的乘除》中存在的重要問題，當然還存在一些其他問題，比如十字相乘這個因式分解法掌握起來比較吃力，還有就是學生對因式分解方法不能熟練靈活地應用，對提公因式，十字相乘，公式法不能運用自如，還有就是學生遇到一些綜合性的問題不能找到切入點.總之，問題層出不窮，教師和學生必須一起配合，共同發現問題，認識到問題的重要性，集中精力切入到問題要害，解決掉這些疑難.教師要多以專題的形式反復給學生強調一些容易混淆的概念或定理，指導學生尋求法則和概念的根源和合理性，讓學生有的放矢.其次，教師應該想方設法利用各種模型和專題討論練習培養學生的整體思想，學生也應該認識到這些知識的重要性，集中注意力，關注每一個出錯環節，細心很重要.