論放縮法在高中數列與不等式中的運用

田沖

【摘要】數列與不等式是高中數學課程的精華，在高中數學教學中占有重要地位.其中，不等式的主要教學特點是通過對不等式本質的分析與講解，充分利用不等式的實際應用特點處理生活問題，從而讓學生感受到數列與不等式的優越性，提升學生將理論結合實際的應變能力.為此，本文就通過筆者自身經驗，突出以放縮法作為探討對象，通過對高中數列與不等式的分析，闡述放縮法在其中的巧妙應用.

【關鍵詞】放縮法；高中數列；不等式運用

引 言

高中數列與不等式通常是指包含有an，sn或者是帶有n前綴的式子，數列不等式的命題在高考知識點中發揮著關鍵作用，也必定是熱點考察知識的重要體現.但是，數列與不等式是一項綜合性的知識鏈接，應用的范圍和要求基礎較高，也具有相當靈活的變換特點，因此就具備了一定的學習難度.在數列與不等式的學習過程中，利用放縮法去解決應用問題既是便捷途徑，卻也是困難途徑，諸多學生在實際的學習處理過程中感到吃力，對解題思路和放縮法的理解不到位.

一、對放縮法的應用把握

對放縮法的應用把握就是指對放縮力度的大小，以及放縮精細的程度，以達到預定的標準.通過對題目類型的把握，迅速的找到解題突破口，逐漸培養學生嚴謹的思考能力和學習興趣，發現數學中數列不等式的內在魅力，認識到放縮法在解決此類問題中的有效性.

1.分組的放縮形式

在實際計算中可以通過分組的放縮形式來達到預期結果，例如在使用放縮法處理多項式的過程中，就可以采用分組的放縮形式來進行結果運算.

2.部分的放縮形式

為了避免在放縮過程中出現超出預期效果的大小范圍，就采用了一部分不動，另一部分進行相應變化的部分放縮形式.

3.逐步放縮的形式

假如面臨的是多個不同樣式的放縮結果，并且出現了結果之間的互異性，最簡便的辦法就是對計算逐步進行，這種放縮方式可以最大限度的提升放縮的精度大小.

4.宏觀的放縮形式

宏觀放縮主要就是說如果運算過程中存在可以推導得出的等式，或是已經存在的等式，就可以對存在組合性質的元素進行等式重構，并對殘留的部分執行放縮過程.宏觀上的放縮形式最大的優勢就是對精度的提升，方便解題的準確性和便捷性.

二、單調的函數放縮法形式

參照具體的題目類型和所提供的信息，對等式架構進行重構，得到新的單調函數，并對其進行下一步放縮，從而得到結果.比如說：在某例題中為求任何正整數對于等式都成立的問題，就可以對其進行單調函數放縮，因為直接做差，難以找到切入點.而得到該函數的單調性能卻是比較容易的，定義域的范圍為正整數范圍，排除導數的可能性，通過計算可以找到解題思緒，但是依然困難重重，很難下手.但是，數列有著特殊的函數性質，它呈現的是一種單調狀態，就會得到函數存在的單調特點.

三、放縮形式存在的效果

防縮變形在根本上區別于恒等變形，放縮變形無論是在形式上，還是空間上都給人們提供了更多的可能性，可以自由的創造更大空間和添加更多計算的局部內容.使得放縮后的計算形式達到簡化效果，結構明了，具體一定的規律性，從而很好的解決問題，實現放縮形式作用的最大化.本文以下題為例講述：{bn}在符合b1大于等于1，bn+1=bn的平方減去n-2的值乘以bn加三，Tn+3+1比b1的值加上3加1比b2的值，一直加到1比3加bn的值，問題是求證tn小于二分之一.因為bn加三等于bn乘以bn減去n的值，再加上2乘以bn加三的值，又因為bn大于等于n的值，所以得出bn+1加3大于等于2乘以bn+3的值，n屬于正整數，運用跌乘計算得出bn加三的大于等于2n-1乘以b1+3大于等于2n+1.所以1比bn+3的值小于等于1比2n+1.n屬于正整數，因此得出結論：Tn小于等于1比2的二次的值加上1比二的三次的值，再加上1比2的四次的值，一直加到1比2的N次值之比等于二分之一減去1比2的n+1次的值，值數小于二分之一.由此看出，把握題目特征對其進行變形，接著刪掉其中一個正項，這種計算手法是放縮在不等式中最常用的技法，假如此題在放縮計算后進行分裂項，進行數學歸納等是無法實現的，這也說明了放縮形式中的很多問題.

四、采用放縮形式的注意事項和計算方法

首先要對放縮的大小方向做到心中有數，無論是放大縮小都必須針對結論而言，針對的大小數值呈現反向動作，也就是計算結果大于標準項則進行縮小，小于標準項則進行擴大.除此之外，針對放縮的項數可以從第一二三項分別開始，也大可不必是對所有的存在項進行統一放縮.在放縮法的一般形式與常用技巧中，其一是對于根式的放縮形式，其二是對于分式分子分母的大小縮放，適用的規律一般為真分數分子分母一塊減掉同樣的正數，呈現變大趨勢，假分數的分子分母一塊減掉某個正數，呈現的是遞減趨勢.其三是在傳統不等式的基礎上進行放縮操作，其四是對于二項式的定理收縮形式，其五是針對特殊情況采用舍棄添加某些項數.

五、結 語

綜上所述，正確掌握收縮尺度的大小，對于放縮法的正確運用具有重要意義.必須通過不斷的思考鍛煉，認識到題目本質的考察方向特性，才能對計算流程有一個足夠的認識，把復雜的解題過程規模化.比如說在構建函數的過程中，如果前后的不等號出現差別，無法對其單調性進行準確判斷，這時運用單調函數去解決該類問題就顯得不合時宜.進行略微的調整，在同樣的中心問題下，可以用不同的具體方式進行解決.

【參考文獻】

[1]朱國宏.探析數列型不等式證明中“放縮法”的妙用[J]，高中數理化，2014，（09）：04-08.

[2]楊萍德.數列不等式中的放縮技巧[J].青蘋果，2014，（03）：03-07.